近大推薦・数学解答いきます②

こんにちは。KEC茨木本校2230です。
近大推薦入試(12/3),数学の解答続編,数学①②共通の第2問です。

【解答】
アイ=31
ウエ,オ=93,3
カキ,ク,ケコ,サ=11,3,93,6
シス,セ,ソタ=-5,3,12
チ,ツ,テ=5,3,2
ト=3
ナニ,ヌ,ネ=15,3,4

【解説】
(1)
余弦定理より$\mathrm{AB}^{2}=6^{2}+5^{2}-2×6×5×\mathrm{cos}B$
$\mathrm{AB}^{2}=36+25-2×6×5×\mathrm{cos}60°$
∴$\mathrm{AB}=\sqrt{31}$
(2)
正弦定理より,外接円の直径が$\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{sin}B}=\frac{\sqrt{31}}{\mathrm{sin}60°}=\frac{2\sqrt{31}}{\sqrt{3}}$
なので,半径は$\frac{\sqrt{93}}{3}$
内接円の半径を$r$とすると,△ABCの面積について次の式が成り立つ。
$\frac{1}{2}r(\mathrm{AB}+\mathrm{BC}+\mathrm{AC})=\frac{1}{2}\mathrm{AB}\cdot\mathrm{BC}~\mathrm{sin}B$
$\frac{11+\sqrt{31}}{2}r=15×\frac{\sqrt{3}}{2}$
$r=\frac{15\sqrt{3}}{11+\sqrt{31}}=\frac{11\sqrt{3}-\sqrt{93}}{6}$
(3)
2つの三角形△ABCと△APTは相似であり,相似はAB:AP=6:$x$
よって,$\mathrm{PT}=\mathrm{BC}×\frac{x}{6}=\frac{5}{6}x$
BCを底辺としたときの△ABCの高さは$\mathrm{ABsin}B=3\sqrt{3}$
PTを底辺としたときの△APTの高さは$3\sqrt{3}×\frac{x}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}x$
よって$\mathrm{PQ}=3\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}x$
長方形の面積は$S=\mathrm{PT}×\mathrm{PQ}=\frac{-5\sqrt{3}}{12}x^{2}+\frac{5\sqrt{3}}{2}x$
変形すると$S=\frac{-5\sqrt{3}}{12}(x-3)^{2}+\frac{15\sqrt{3}}{4}$
よって$x=3$($0<x<6$を満たす)のとき$S$は最大となり,最大値は$\frac{15\sqrt{3}}{4}$

【感想】
数Ⅰ図形と計量,2次関数からの出題でした。易しめです。
外接円や内接円は定番ですね。長方形の計量では,$\mathrm{PB}=6-x$,$\mathrm{PQ}=\mathrm{PB}~\mathrm{sin}B$として求める方法もあります。平方完成など,きちんと作業するのみです。