10人が被らずに歌える確率

こんにちは。KECの塾・予備校部門,数学・理科担当の川渕です。
先日,テレビのバラエティ番組をみていたときのこと。
「芸人10人が交代で1曲歌う」という企画をやっていました。

この企画のポイントは,交代といっても順番が決まっていないこと。
1曲を10のパートに分けているのですが,それぞれ自分の判断で歌い始めるため,歌う人が被ってしまうことがあります。
歌う人が被ったらアウト」というルールで,10人が誰とも被らずに歌えるまで,繰り返しチャレンジするというものでした。

さすがに誰とも被らないというのは難しく,芸人の皆さんは苦労している様子。
番組の中で「10人が被らずに歌える確率は,計算上,約1/2756」と紹介されていました。
確率を出されると数学の講師としては気になるところなので,計算してみました。

10人が歌う代わりに,「10人が1から10の間の好きな整数を一斉にいう」とします。
もし10人の数字が被らなければ,その順番で歌えば被ることもありません。
ということで,この問題を「10人が1から10の間の整数を一斉に答えるとき,その数字が被らない確率を求める」と考えます。

まず,すべての答え方が何通りあるかを求めます。
10人がそれぞれ10通りの答えを言うので,すべての答え方は1010(10の10乗)通り。
次に,被らない答え方が何通りあるかを求めます。
答えが被らないときは,10人の答えが1から10のいずれかになっているはずなので,被らない答え方の総数は1から10の並べ方の総数に等しく,10!(10の階乗)通り。

よって,求めたい確率は,

(被らない答え方の総数)/(答え方の総数)
(10!)÷(1010
567/1,562,500

となり,番組内で紹介された確率と一致しません。
ただ,分子を1にすると
約1/2755.73…
となるので,ほぼ,1/2756に等しくなりました。

ついでに,Excelでシミュレーションもしてみました。
AからJの10人分の乱数を3000回発生させて,何回目に一致するかを調べてみました。
何回か調べたのですが,例えば,この時は451回目に一致しました。

RANDBETWEEN(1,10)で1から10の乱数を発生させます。

A~Jの数字が被るかどうか,自分より右の数をすべて調べて被る回数をカウントしています。
被る数が無ければ右のL列からT列の9個の数字はすべて0になります。
※ここでは,L列からT列の和が0になれば「成功」と表示されるようにしています。

こんな感じで,小ネタの用意に余念がない高槻本校では,小学生・中学生・高校生の無料体験授業を実施中。
1クラス平均10人前後の,小人数クラスで体験もしやすいです。
特に,今年受験生の高3生向けには,先輩たちに合格の秘訣を聞けるパネルディスカッションも開講予定(5/28)
ぜひ,この機会にKEC高槻本校までお問い合わせください。

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退屈なとき・・・

こんにちは。KECの塾・予備校部門,数学・理科担当の川渕です。
素数といえば,「2以上の整数で,正の約数が1と自分自身しかない数」。
2,3,5,7,11,13,17,19,…と続いていきますが,どういう規則で素数が現れるのか,はっきりとは判っていないそうです。
そんな素数ですが,あるルールに沿って並べると,傾向が現れたりします。
そのうちの1つが,ウラムの螺旋(らせん)です。
まず,こんな感じで正の整数を並べます。

そして,素数以外を消します。

図では数が少ないのですが,なんとなく対角線上に並びそうではないでしょうか。
ここからは手計算では大変なので,パソコンに頑張ってもらいましょう。
久しぶりにスクラッチを使って,コードを書いて計算してみました。
正の整数を並べながら,それが素数がどうかを関数で判定しています。

このコードを使って,謎のUFOが素数の分布のようすを図示しました。


 
約13万個の正の整数を上記のルールで並べ,素数がある場所に青色をつけました。
※数字そのものは表記していません。
左回りのはずなのですが,動きが速すぎて右回しているような・・・
それはさておき,なんとなく,45度の斜線に並んでいるようすが見てとれるでしょうか。

これにより,いくつかの2次多項式が非常に多くの素数を生成する傾向にあることがわかるそうです。
1963年,数学者のスタニスワフ・ウラムによって発見されたとのこと。
学会中,「長くて非常に退屈な論文」の発表の際に,落書きをしていて発見したというエピソードがあるそうです。
退屈なときでも,手を使って考えれば何か発見があるかもしれませんね。
KEC高槻本校では,授業が休みのGW中にも高3生対象の公開講座を実施します。

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4月本科授業開講 【高槻本校】

こんにちは。KECの塾・予備校部門,高槻本校の数学・理科担当の川渕です。
4月7日(金)より2023年度の本科授業がスタートしました。
今年も多くの新規生が入塾しており,4月から大変盛り上がっています。

前年度の大学入試では,中学からKECに通ってくれた塾生から東京大学,京都大学,大阪大学の現役合格が出ました。


※KEC教育グループ全体での結果です。

高槻本校ではなく他校の生徒ではありますが,せっかく東大合格者が出た記念(?)ということで,高1数学の授業中,東大の過去問を紹介。
2001年の前期の第1問は,空間図形の問題ですが中3で習う三平方の定理で解けるので,新高1の皆さんでも理解できるはず・・・
と紹介すると,みんな興味深そうに見ていました。
ただ,解説を見てわかるからと言って,自分で解けるかというと,それは別問題。
特に難関大学の問題は,どう戦略を立てて解くのか,しっかり考えないと太刀打ちできません。
ぜひ,KECで戦略の立て方を学んで,大学入試で結果を残してほしいものですね!

ということで,高槻本校では,4月無料体験を実施中。
小学生,中学生,高校生の通常授業を体験することが可能です。
KECの本科授業は4月開講なので,今なら合流しやすいです。
ぜひ,この機会に受講をご検討ください。

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スカラー【高槻本校】

こんにちは。KECの塾・予備校部門,高槻本校の理科担当の川渕です。
高校生にはおなじみの,数学や物理で出てくるベクトル。
高校では,速度や力のように「大きさ」と「向き」を持つ量をベクトルとよび,それに対し,温度やエネルギーのように「大きさ」だけを持つ量をスカラーとよびます。

ところで、ベクトル(vector)とスカラー(scalar)のカタカナ表記。
これはドイツ語風の発音で,英語ではヴェクター,スケイラーという感じで発音します。
スカラーは,もとはラテン語で「はしご」を意味する言葉が由来とのこと。
英語のスケール(scale)と同じ語源だそうです。
スケールといえば,規模や目盛りなど,大きさの程度を表す意味がありますね。
たしかに、ベクトルに正のスカラーを掛けると,大きさが変わります。
例えば,あるベクトルに3を掛ければ,ベクトルの長さが3倍になります。

個人的には,スカラーとスケールが同じ語源だと知ったとき,とても面白く感じました。
※ちなみに,ベクトルの語源はラテン語で「運ぶ」だそうです。

日常の会話では,ベクトルを方向性のような意味で使うことがあるようです。
受験勉強も努力の方向性が大事・・・
そのためには,まず,受験の情報からということで,KECでは,新高2(現高1)新高3(現高2)の保護者様向けに「大学入試オンライン説明会」を実施します。

詳しいご案内・お申込みは,特設サイトから。

ぜひ,この機会にご参加をご検討ください。
もちろん,本科授業の体験も大歓迎しています。
KECで,志望校合格へのはしごをどんどん上っていきましょう!

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新中学1年生 スタートダッシュ講座のご案内

みなさん、こんにちは!

KEC近畿教育学院・予備校 石山本校の後藤です。

 

先週末に共通テストが実施されましたね。

後藤の担当科目である数学、昨年はとてつもない難易度でしたが、今年の問題は比較的取り組みやすかったのでは、と感じました。

共通テストを皮切りに、いよいよ大学入試も大詰め。来週末からは産近甲龍・関関同立といった私大入試が始まってきます。

そして2月になれば中学3年生も私立高校入試、そして滋賀県特色選抜入試と受験シーズンの真っ只中ですね。

今日も朝から中学3年生・高校3年生・高卒生がラストスパートに向けて頑張っています!

 

みなさん4月から新学年が始まり、不安と期待でいっぱいのことだと思います。

特に春から中学1年生の皆さんはクラブ活動や定期テストなど、小学校とはガラッと生活が変わります。

そこでKECでは新中学1年生を対象としたスタートダッシュ講座を2月より実施します。

毎年、KEC全校で300名も参加する人気のこの講座、ここ石山本校での初回授業は2月10日(金)となっております!

詳細は上の画像をクリック、またはこちらをクリック(タップ)すると特設サイトに移動します!

受講料完全無料で中学1年生1学期の英語・数学を受講出来る毎年好評の講座となっております。

お申込みは電話もしくはHPよりお願い致します!


KEC近畿教育学院・予備校

石山本校

TEL077-537-5861

 

 

石山本校Instagram始めました!

皆さん、Merry Christmas★

KEC石山本校の小島です。

今日は、お知らせです。

KEC石山本校、、、Instagram始めました!

校からのいろいろな情報を投稿しますので、ぜひチェックしてください!!

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KEC近畿教育学院・近畿予備校 石山本校

TEL: 077-537-5861

mail:ishiyama@kec.ne.jp

HP: https://www.prep.kec.ne.jp/ishiyama/

パワーアップ週間【高槻本校】

こんにちは。KECの塾・予備校部門,高槻本校の数学・理科担当の川渕です。
高槻市内の中学校は,学校によってテスト期間がわりと異なります。
後期中間テストの時期である11月の今頃は,「テストが終わった塾生」,「テスト中の塾生」,「これからテスト期間の塾生」が混ざることになって大変です。
そんな中,すでにテストが終わった中1生から,嬉しい報告がありました。
数学のテストで98点,前回のテストから大幅アップ!
これからテストの塾生たちにも,大きな励みになったようです。

ところで,テスト期間がバラバラなこの時期。
すでにテストが終わった塾生たちは,進度に余裕があります。
そこで,中1数学の授業の際,ちょっと面白い問題を用意しました。
問題文の冒頭を紹介すると,こんな感じです。

The figure on the right has line symmetry and line l is the axis of symmetry. Answer the following questions.

これを見た塾生たち,「なんで英語やねん!」といいながら大盛り上がり。
図形の線対称(line symmetry)の問題なので,問題文の一部にわからない部分があっても意味を察して解けます。
答え合わせでは,数学の解説の上に英文の解説までしました。
数学と英語をあわせて勉強できて,みんなパワーアップしました。

そんなパワーアップ週間の高槻本校では,12月より「算数パワーアップ講座」を開講します。
新中学1年生(現小学6年生)の方を対象の特別講座です。
数学・理科の基礎となる算数を週1回の授業で無理なくマスターしていきます。
中学生になる前のこの時期に,ぜひ,得意科目にしましょう!

【HP申込フォームのあるイベント一覧】
■算数パワーアップ[小6]
https://www.prep.kec.ne.jp/briefinglist/math-powerup.html

■プログラミング講座「プロクラ」[小学生]
https://www.prep.kec.ne.jp/elementary/programming.html

■英検ESG祭[小5・小6]
https://www.prep.kec.ne.jp/briefinglist/esg.html

■大学入試説明会[高2]
https://www.prep.kec.ne.jp/briefinglist/university-entrance-exam-h2.html

■転塾キャンペーン[小学生・中学生・高校生]
https://www.prep.kec.ne.jp/briefinglist/transfer.html

■2週間無料体験キャンペーン[小4・小5・小6・中1・中2]
https://www.prep.kec.ne.jp/briefinglist/experience-2week.html

■志望校判定模試[小4・小5・小6・中1・中2・中3・高1・高2]
https://www.prep.kec.ne.jp/briefinglist/dreamschool-exam.html

■大きく変わる大学入試説明会[高1・高2・高3]
https://www.prep.kec.ne.jp/briefinglist/entrance-exam.html

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公開鍵暗号

こんにちは。KECの塾・予備校部門,高槻本校の数学・理科担当の川渕です。
先日,中3数学の授業で「円周角の定理の逆」を取り扱いました。
下の図で,「∠APB=∠AQBが成り立つとき,4点A,B,P,Qが同一円周上にある」というもの。
見えない円を探さないといけない,という点で難しい円周角の定理の逆。
探すコツとして「角周円ちゃんを探せ!」と塾生に伝えています。
「円周角」の逆だから,「角周円」と名付けました。

図で分かるように,私の授業では棒人間を多用しています。
ここで,私が学生時代に習った「公開鍵暗号」を棒人間で説明してみましょう。
最近は高校の「情報」の授業で習うようですが,私は大学で習いました。

データを送信するとき,第三者にバレないようにするには暗号が必要です。
送信者と受信者で一つの鍵(共通鍵)を共有して暗号をかければ,安全に送受信できます。
これを「共通鍵暗号方式」といいます。
A,B,C,Dの4人がXさんにデータを送信するとき,お互いにデータがバレないようにそれぞれの共通鍵で暗号化します。

それに対し,受信者が「公開鍵」と「秘密鍵」の2つをペアで作成し,公開鍵を送信者に伝えて「この鍵で暗号をかけてね」というのが「公開鍵暗号方式」。
Xさんに何か伝えたいとき,みんなが同じ公開鍵を使ってもお互いにバレることはありません。
その暗号文を復号(元に戻せる)のが,秘密鍵を持っているXさんだけだからです。
多人数で情報をやりとりするときは,公開鍵暗号方式の方が鍵の総数が少なくて済みます。
また,共通鍵暗号方式では相手に共通鍵を安全に送らなければなりませんが,そのために公開鍵暗号を使ったりするそうです。

この公開鍵暗号で使われている数学の理論の1つに,中1で習う「素因数分解」があります。
素因数分解をもとにして作った暗号を,RSA暗号というそうです。
ざっくりいうと「答えがわかっている人には簡単に確かめられるけど,そうでない人には解くのが難しい」という性質が暗号にピッタリとのこと。
これを大学で習った私は「こんなことを思いつくなんて,世の中には,賢い人がいるなあ・・・(ちなみに,R・S・Aは,発明者の3人の頭文字だそうです)」と驚いたものですが,この公開鍵暗号,公開鍵で暗号化して秘密鍵で復号化するだけでなく,逆の利用法もあります。
こんな感じです。

Xさんがデータを処理してから,自分の秘密鍵で暗号化した処理済みデータと暗号化する前の処理済みデータを送信し,「これを公開鍵で復号してね」と伝えます。
データを受信した人達は「公開鍵で復号したものと暗号化する前のものとが一致するから,これはXさん本人が送ったものに間違いない」と確認ができます。
本人確認のためのサインと同じようなものなので,これを「署名」というそうですが,こんなことを考え出す人って,本当,すごいですね。
※実際には,もっと難しい話があって単純に公開鍵暗号と署名は逆というわけではなく,別の技術なのだそうです。

さて,棒人間が活躍する高槻本校では,小学生・中学生・高校生対象に,授業の無料体験を実施しています。
KEC高槻本校の授業はすべて公開していますので,どの授業でも体験可能です。
ぜひ,この機会にKEC高槻本校の高い合格率の秘密に触れてみてください!

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グッドニュース/半年で数学偏差値10アップ

こんにちは!KEC枚方本校の藤原です。

高校2年生は2学期中間テスト終了&修学旅行から帰ってきて、いよいよ今週から気合入れて再始動です。

高校2年生受験生になるスケジュール

開講時期 開講講座
11月~ Reスタート数学
プレReスタート英文法
11月13日(日) 能力診断テスト
大学入試説明会
冬期集中講座~ Reスタート英文法
1月27日(日) 共通テスト実感中継講座
2月~ Reスタート物理
Reスタート化学
Reスタート古文文法
Reスタート数学Ⅰ
国公立理系数Ⅲ

*KECリスタート講座特設ページはこちら

関関同立などの難関私大・国公立大の合格者の70%以上が高2の冬までには受験を意識した勉強をスタートしています。皆さんも1日でも早く受験を意識した勉強を開始しましょう!


枚方本校高2生のグッドニュース

ということで、今回は枚方本校高2生のグッドニュースを紹介します。
高1からKEC生のKくん
Kくんは高校1年生の時は英語・国語を受講していましたが、高校2年生になる前の春期講座から数学を受講しました。

もともと文系科目が非常に得意でしたが、中学から数学がとにかく苦手で嫌いで大学受験も数学を使わずにと考えている生徒でした。

しかし、大学のことを調べたり面談の中で将来について話をしていく中で志望校が変わり数学を真剣に取り組むようになりました。

自分で立てた勉強計画をこれでいいか確認しに来て、やることを明確にしたら必ず実行してきました。

特に夏休みの間は誰よりも数学と向き合って努力していました(英語も高2の間での準1級取得を目指してがんばっています)。
その結果、この半年で数学の偏差値が10アップ!すばらしい!

全統模試(数学)の偏差値推移

全統模試(数学)の偏差値
第1回全統高1模試(高1:5月) 49.9
第2回全統高1模試(高1:8月) 51.3
第1回全統高2模試(高2:5月) 52.7
第2回全統高2模試(高2:8月) 62.5

恥ずかしそうに模試の成績表を見せにきてくれましたが、ちゃんとこれから何をするかも考えて計画を立てていましたよ。

これからもこんな嬉しいニュースを枚方本校からたくさんうみ出していきます!

あみだくじの仕組み方

こんにちは。KECの塾・予備校部門,高槻本校の数学・理科担当の川渕です。
まだまだ暑い日が続きますが,夜になると涼しい今日この頃。
秋の気配を感じるようになりました。
秋といえば,読書の秋。
最近,とある本※1で「あみだくじの仕組み方」を知りました。

ここはKEC高槻本校。
学生アシスタントの「梅干し職人」,「親分」,「ごんざぶろう」,「スパルタン」,「星人」,「とっきー」,「にせもの」の7人※2が,どの曜日に入るか,シフトを決めようとしています。
あみだくじで決めようとしたのですが・・・

実は,この7人の希望はこの通りです。

そこで,希望通りになるよう「あみだくじを仕組む」のが,今回のテーマです。
まず,希望を結んだ線の交点(赤い点)に注目します。

赤い点をH字型に置き換え,4つの端に線をつなぎます。

H字型をそれっぽく変形していきます。

さらに全体の形を整えると,出来上がりました。

このあみだくじをすると,みんなの希望通り,梅干し職人は月曜日,親分は木曜日,ごんざぶろうは水曜日,スパルタンは日曜日,星人は土曜日,とっきーは火曜日,にせものは金曜日になります。
ぜひ,あみだくじを仕組みたい方(?)は,試してみてください。
なぜこれであみだくじができるのか,気になる方は参考文献※1をご覧ください。

ところで,皆さんの希望をかなえたいKEC高槻本校では,集団授業がメインなのですが,その他,さまざまなコースをご用意しています。
高校生対象のatama+,小学生対象の計算特訓FLENS,全学年対象の速読を始め,2022年度からは学研とコラボした中学生対象の「自立型個別指導」を開講しています。
いずれのコンテンツも体験可能ですので,ご興味がある方は,ぜひ,お問い合わせください。

もちろん,通常授業・秋の2週間無料体験も受付中です!

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※1 芹沢光雄.離散数学入門,講談社ブルーバックス,2019,213p
※2 すべて実在のアシスタントの異名です。塾生やミルク先生,川渕が考えました。