こんにちは。KEC茨木本校2230です。
近大推薦入試(12/3)，数学の解答続編，数学①第3問です。

【解答】
ア,イ=2,2
ウ=0
エオ=-1
カ=3
キク,ケ=-1,2
コ,サシ=2,11
スセ,ソ=-5,3
タチ,ツテ=64,27

【解説】
(1)
$\int_{-1}^{1}f(x)dx=\int_{-1}^{1}(3x^{2}+ax+b)dx$
$=\left[x^{3}+\frac{1}{2}x^{2}+bx\right]^1_{-1}=2b+2$
(2)前半
$g(x)=x$のとき
$\int_{-1}^1f(x)g(x)dx=0$より $\int_{-1}^{1}(3x^{3}+ax^{2}+bx)dx=0$
$2\int_0^1ax^2dx=0$，$\left[\frac{1}{3}ax^{3}\right]^1_0=0$
$\frac{1}{3}a=0$　∴$a=0$
$g(x)=1$のとき
$\int_{-1}^1f(x)g(x)dx=0$より $\int_{-1}^{1}(3x^{2}ax+b)dx=0$
$2\int_{0}^{1}(3x^{2}+b)dx=0$，$\left[x^{3}+bx\right]^1_0=0$
$1+b=0$　∴$b=-1$
逆に，$a=0$,$b=-1$のとき，$g(x)=px+q$とすると
$\int_{-1}^1f(x)g(x)dx=\int_{-1}^{1}(3x^{2}-1)(px+q)dx$
$=\int_{-1}^1(3px^{3}+3qx^{2}-px-q)dx=2\int_{0}^1(3qx^{2}-q)dx$
$=2\left[qx^{3}-qx\right]^1_0=2(q-q)$
$=0$
となる。よって求める$a$,$b$の値は$a=0$,$b=-1$
(2)中盤
$f(x)=h(x)$を解くと$3x^{2}-1=cx+5$，$3x^{2}-cx-6=0$ ・・・①
①の2解を$α$,$β$（$α<β$）とすると，解と係数の関係から
$α+β=\frac{c}{3}$，$αβ=-2$ ・・・②
$α<x<β$のとき$f(x)<h(x)$なので
2曲線で囲まれた部分の面積について次の式が成り立つ。
$\int_α^β(h(x)-f(x))dx=\frac{27}{2}$
$\int_α^β(-3x^{2}+cx+6)dx=\frac{27}{2}$
$\frac{3}{6}(β-α)^{3}=\frac{27}{2}$　∴$β-α=3$
このとき$(β-α)^{2}=9$，$(α+β)^{2}-4αβ=9$
②を代入すると$\left(\frac{c}{3}\right)^{2}+8=9$
$\left(\frac{c}{3}\right)^{2}=1$　これを満たす正の数$c$は$3$
このとき①より$3x^{2}-3x-6=0$，$x^{2}-x-2=0$
$(x+1)(x-2)=0$　∴$x=-1,~2$
つまり交点の座標は($-1,~2$)，($2,~11$)
(2)後半
$f(x)h(x)=0$つまり$(3x^{2}-1)(3x+5)=0$の解は$x=\frac{-5}{3},~-\frac{1}{\sqrt{3}},~\frac{1}{\sqrt{3}}$であり，このうちで最小の値は$\frac{-5}{3}$
このとき
$\int_\frac{-5}{3}^1f(x)h(x)dx=\int_\frac{-5}{3}^1(3x^{2}-1)(3x+5)dx$
$=\int_\frac{-5}{3}^1(9x^{3}+15x^{2}-3x-5)dx$
$=\left[\frac{9}{4}x^{4}+5x^{3}-\frac{3}{2}x^{2}-5x\right]^1_\frac{-5}{3}$
$=\frac{64}{27}$

【感想】
数Ⅱ微分積分，頻出分野ですね。標準レベルです。
(2)では，上記のように，1次関数$g(x)$として超簡単なもので試すことで定数$a,~b$を求めてしまえます。穴埋め問題では値が決まれば即終了ですが，記述式の場合は×です。必要条件しか使っとらん，十分性を確かめておく必要がありますのでご注意。最後の定積分は計算だけですがしんどいです，ここは後回しまたはスルーしますか。

こんにちは。KEC茨木本校2230です。
近大推薦入試(12/3)，数学の解答続編，数学①②共通の第2問です。

【解答】
アイ=31
ウエ,オ=93,3
カキ,ク,ケコ,サ=11,3,93,6
シス,セ,ソタ=-5,3,12
チ,ツ,テ=5,3,2
ト=3
ナニ,ヌ,ネ=15,3,4

【解説】
(1)
余弦定理より$\mathrm{AB}^{2}=6^{2}+5^{2}-2×6×5×\mathrm{cos}B$
$\mathrm{AB}^{2}=36+25-2×6×5×\mathrm{cos}60°$
∴$\mathrm{AB}=\sqrt{31}$
(2)
正弦定理より，外接円の直径が$\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{sin}B}=\frac{\sqrt{31}}{\mathrm{sin}60°}=\frac{2\sqrt{31}}{\sqrt{3}}$
なので，半径は$\frac{\sqrt{93}}{3}$
内接円の半径を$r$とすると，△ABCの面積について次の式が成り立つ。
$\frac{1}{2}r(\mathrm{AB}+\mathrm{BC}+\mathrm{AC})=\frac{1}{2}\mathrm{AB}\cdot\mathrm{BC}~\mathrm{sin}B$
$\frac{11+\sqrt{31}}{2}r=15×\frac{\sqrt{3}}{2}$
$r=\frac{15\sqrt{3}}{11+\sqrt{31}}=\frac{11\sqrt{3}-\sqrt{93}}{6}$
(3)
2つの三角形△ABCと△APTは相似であり，相似はAB:AP=6:$x$
よって，$\mathrm{PT}=\mathrm{BC}×\frac{x}{6}=\frac{5}{6}x$
BCを底辺としたときの△ABCの高さは$\mathrm{ABsin}B=3\sqrt{3}$
PTを底辺としたときの△APTの高さは$3\sqrt{3}×\frac{x}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}x$
よって$\mathrm{PQ}=3\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}x$
長方形の面積は$S=\mathrm{PT}×\mathrm{PQ}=\frac{-5\sqrt{3}}{12}x^{2}+\frac{5\sqrt{3}}{2}x$
変形すると$S=\frac{-5\sqrt{3}}{12}(x-3)^{2}+\frac{15\sqrt{3}}{4}$
よって$x=3$（$0<x<6$を満たす）のとき$S$は最大となり，最大値は$\frac{15\sqrt{3}}{4}$

【感想】
数Ⅰ図形と計量，2次関数からの出題でした。易しめです。
外接円や内接円は定番ですね。長方形の計量では，$\mathrm{PB}=6-x$，$\mathrm{PQ}=\mathrm{PB}~\mathrm{sin}B$として求める方法もあります。平方完成など，きちんと作業するのみです。

こんにちは。KEC茨木本校2230です。
昨日（12/3）の近大推薦入試，数学を解いてみました。
受験生の皆さんの参考となれば幸いです。

まずは，数学①②共通の第1問です。
【解答】
ア,イ=-,1
ウ,エ=2,3
オカ=-1
キ,ク,ケ=3,7,2
コ,サ=2,9
シ,ス=1,9
セ,ソタチ=5,216

【解説】
(1)前半
$y=x^{2}+(2a-2)x+2a^{2}-4a-2$
$~~=(x+a-1)^{2}+a^{2}-2a-3$
よって頂点の座標は($-a+1$，$a^{2}-2a-3$)

(1)後半
次の3つの条件を満たす$a$を求める。
①頂点の$x$座標（放物線の軸の位置）について
$-a+1>-1$　∴$a<2$
②頂点の$y$座標について
$a^{2}-2a-3<0$　∴$-1<a<3$
③$x$座標が$-1$のとき$y$座標は正になるので
$2a^{2}-4a-2>0$
∴$x<\frac{3-\sqrt{7}}{2},\frac{3+\sqrt{7}}{2}<x$
これら3つを同時に満たす$a$の値の範囲は
$-1<x<\frac{3-\sqrt{7}}{2}$

(2)解答前の準備
さいころを投げて，2または4の目が出る事象をA，3の目が出る事象をB，6の目が出る事象をC，1または5の目が出る事象をDとする。 A,B,C,D各事象が起こる確率は順に$\frac{1}{3},\frac{1}{6},\frac{1}{6},\frac{1}{3}$である。
(ⅰ) Aが2回，またはCとDが1回ずつ起きるときである。 確率は$\left(\frac{1}{3}\right)^{2}+_2\mathrm{C}_1×\frac{1}{6}×\frac{1}{3}=\frac{2}{9}$
(ⅱ) Aが2回とBとDが1回ずつ，またはBとCが1回ずつとDが2回起きるときである。 確率は$\frac{4!}{2!}×\left(\frac{1}{3}\right)^{2}×\frac{1}{6}×\frac{1}{3}+\frac{4!}{2!}×\frac{1}{6}×\frac{1}{6}\left(\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{1}{9}$
(ⅲ) 始めの3回とあとの2回に分けて考える。 始めの3回では，A2回とD1回，またはC1回とD2回が起きるときである。
この確率は$_3\mathrm{C}_2×\left(\frac{1}{3}\right)^{2}×\frac{1}{3}+_3\mathrm{C}_1×\frac{1}{6}×\left(\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{1}{6}$ あとの2回では，実質4だけ進めばよい。AとCが1回ずつ，またはBが2回起きるときである。 この確率は$_2\mathrm{C}_1×\frac{1}{3}×\frac{1}{6}+\left(\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{5}{36}$
よって求める確率は$\frac{1}{6}×\frac{5}{36}=\frac{5}{216}$

【感想】 (1)は2次関数，(2)確率でした。どちらも易しめ。
$x>-1$を満たす解が2つある，とすればありがちな問題ですが，グラフの位置ネタで提供してしまっているところは，易しすぎかも。確率はさいころと点の動きの合わせ技で，これもよくある題材ですね。事象の内訳を見落とさないように気を付けましょう。

第2問第3問も解答していきます，しばらくお待ちください。

こんにちは。KEC茨木本校2230です。
いきなりですが，受験生に質問します。
①授業で，どう解いたのと聞かれても答えられないときってありませんか。
②もうすぐ入試だけれど，解ける気がしないとか。

YESだった人。
ひょっとして，自信ないんじゃないです？
じゃあ，どうすりゃ自信なんてつくのさって?

答えは，
淡々と練習する。勉強する。

これだけ？
そう，これだけ。

やってますけど？
そう，その積み重ね。薄い1枚1枚が積み重なって，分厚い束になるように。

薄っぺらすぎてもいけません。それなりのものが欲しいです。
知識レベルの暗記→解法習得の問題練習→過去問トレーニングは必須。
そこで，できなかった問題を次はできるように取り組む。

秋頃の授業では入試問題を題材に演習しますが，解けなくて凹むことも多いでしょう。
でも，どうすれば解けるのか，ビジョンや方向性など考え方をどんどん吸収しましょう。
そして次は自分だけで解けるように。
この繰り返しと積み重ねが，確実に力になります。
こうして，自信は自ら育むのです。

某武道では練習時に聖句というものを唱える場面がありまして，その一文に次のようなものがあります。
己れこそ己れの寄るべ　己れをおきて誰に寄るべぞ
良く整えし己れこそ　まこと得がたき寄るべなり

信じられる自分になるために，日々努力しようではありませんか。
もうひとつ。
挑戦する皆を鼓舞する，呪術廻戦・伏黒恵の台詞をお届けしましょう。
｢できるかじゃねぇ やるんだよ!!｣

さあ，共に頑張りましょう。

こんにちは。KEC茨木本校2230です。
11月も半ばとなり，学校推薦型選抜入試の時期に突入です。
昨日も，近大戦を終えて当校に直行したA君，P先生に出来具合を伺ってましたね。

複数回受験した人の方が一発狙いの受験生よりも合格率は高いようです。
それは，
　①初回で場慣れする
　②初回で最新出題傾向に触れられる
　③今後の出題予想ができる
といった理由が挙げられますね。

うまくいけた人はそれでよし。
残念だとしても，今回の経験を一般選抜に活かせるはず，いいえ是非とも活かしてください。