こんにちは。KECの塾・予備校部門，高槻本校の数学・理科担当の川渕です。
先日，中3数学の授業で「円周角の定理の逆」を取り扱いました。
下の図で，「∠APB＝∠AQBが成り立つとき，4点A，B，P，Qが同一円周上にある」というもの。
見えない円を探さないといけない，という点で難しい円周角の定理の逆。
探すコツとして「角周円ちゃんを探せ！」と塾生に伝えています。
「円周角」の逆だから，「角周円」と名付けました。

図で分かるように，私の授業では棒人間を多用しています。
ここで，私が学生時代に習った「公開鍵暗号」を棒人間で説明してみましょう。
最近は高校の「情報」の授業で習うようですが，私は大学で習いました。

データを送信するとき，第三者にバレないようにするには暗号が必要です。
送信者と受信者で一つの鍵（共通鍵）を共有して暗号をかければ，安全に送受信できます。
これを「共通鍵暗号方式」といいます。
A，B，C，Dの４人がXさんにデータを送信するとき，お互いにデータがバレないようにそれぞれの共通鍵で暗号化します。

それに対し，受信者が「公開鍵」と「秘密鍵」の2つをペアで作成し，公開鍵を送信者に伝えて「この鍵で暗号をかけてね」というのが「公開鍵暗号方式」。
Xさんに何か伝えたいとき，みんなが同じ公開鍵を使ってもお互いにバレることはありません。
その暗号文を復号（元に戻せる）のが，秘密鍵を持っているXさんだけだからです。
多人数で情報をやりとりするときは，公開鍵暗号方式の方が鍵の総数が少なくて済みます。
また，共通鍵暗号方式では相手に共通鍵を安全に送らなければなりませんが，そのために公開鍵暗号を使ったりするそうです。

この公開鍵暗号で使われている数学の理論の1つに，中1で習う「素因数分解」があります。
素因数分解をもとにして作った暗号を，RSA暗号というそうです。
ざっくりいうと「答えがわかっている人には簡単に確かめられるけど，そうでない人には解くのが難しい」という性質が暗号にピッタリとのこと。
これを大学で習った私は「こんなことを思いつくなんて，世の中には，賢い人がいるなあ・・・（ちなみに，R・S・Aは，発明者の3人の頭文字だそうです）」と驚いたものですが，この公開鍵暗号，公開鍵で暗号化して秘密鍵で復号化するだけでなく，逆の利用法もあります。
こんな感じです。

Xさんがデータを処理してから，自分の秘密鍵で暗号化した処理済みデータと暗号化する前の処理済みデータを送信し，「これを公開鍵で復号してね」と伝えます。
データを受信した人達は「公開鍵で復号したものと暗号化する前のものとが一致するから，これはXさん本人が送ったものに間違いない」と確認ができます。
本人確認のためのサインと同じようなものなので，これを「署名」というそうですが，こんなことを考え出す人って，本当，すごいですね。
※実際には，もっと難しい話があって単純に公開鍵暗号と署名は逆というわけではなく，別の技術なのだそうです。

さて，棒人間が活躍する高槻本校では，小学生・中学生・高校生対象に，授業の無料体験を実施しています。
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こんにちは。KECの塾・予備校部門，高槻本校の数学・理科担当の川渕です。
夏期集中講座も終了し，９月７日（水）から，いよいよ本科授業を再開します。
いろいろ準備が大変でしたが，なんとか間に合いそうです。

ところで，紀元前のギリシャの哲学者ゼノンが唱えた有名な逆説「アキレスと亀」をご存じでしょうか。
アキレスとは，アキレス腱でおなじみ（？）のギリシャ神話に登場する英雄で，とても足が速かったそうです。
そんな俊足のアキレスが，前方にいる鈍足のカメを追いかけます。
ふつうに考えればアキレスがカメを追い越しそうなものですが，ゼノンはこう言います。

アキレスがはじめに亀のいたところに追いついたときには，亀はわずかに前進している。
ふたたびアキレスが追いかけて亀がいたところに追いついたときには，さらに亀はわずかに前進している。
これを繰り返すかぎり，アキレスは亀に追いつくことはできない。

こう言われると，なんだか，追い越せない気がしてきますが・・・
もちろん，そんなことはありません。
アキレスは亀を追い越すはずなので，ゼノンの逆説，なにかがおかしいです。
どこがおかしいか，わかりますか？

ということで，ゼノンの説明をScratchで再現してみました。
アキレス役を猫，亀役を怪しいUFOが担っています。
２人の間は，はじめ，距離L離れているとします。
アキレス（猫）の速さが亀（UFO）の２倍の時，アキレスが2L進めば亀に追いつくはずなのですが・・・

　
２人の距離は徐々に狭まってくるのですが，アキレス（猫）は追いつけません。
動画では８回でやめましたが，この追いかけっこは「無限」に繰り返されます。
「無限」といわれると永遠に追いつけなさそうな気にさせられるのが，この逆説の難しいところ。
無限に繰り返されますが，アキレス（猫）と亀（UFO）の進んだ距離の和や時間の和は，有限の値に収束します。
この場合，アキレス（猫）が進んだ距離の和は2Lになり，亀（UFO）の進んだ距離の和はLになるので，無事，アキレスは追いつきます。
無限にある数の和が有限になるのは不思議な気がしますが，これは，数IIIで習う無限等比級数で計算ができます。
結局，ゼノンの逆説は，アキレス（猫）が亀（UFO)に追いつくまでの様子を説明しているのでした。

高校２年生の皆さんは，数IIの終盤で微分・積分を習います。
ここで本格的に無限の取り扱いが始まります。
さらに数IIIでも微分・積分を習います。
大学でも理工系や経済系などでは，やっぱり微分・積分を習います。
人体でいえばアキレス腱なみに大事な微分・積分。
しっかり学んでおきたい皆さんは，この機会に，ぜひKEC高槻本校までお問い合わせください。

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