近大推薦・数学解答いきます③

こんにちは。KEC茨木本校2230です。
近大推薦入試(12/3),数学の解答続編,数学①第3問です。

【解答】
ア,イ=2,2
ウ=0
エオ=-1
カ=3
キク,ケ=-1,2
コ,サシ=2,11
スセ,ソ=-5,3
タチ,ツテ=64,27

【解説】
(1)
$\int_{-1}^{1}f(x)dx=\int_{-1}^{1}(3x^{2}+ax+b)dx$
$=\left[x^{3}+\frac{1}{2}x^{2}+bx\right]^1_{-1}=2b+2$
(2)前半
$g(x)=x$のとき
$\int_{-1}^1f(x)g(x)dx=0$より $\int_{-1}^{1}(3x^{3}+ax^{2}+bx)dx=0$
$2\int_0^1ax^2dx=0$,$\left[\frac{1}{3}ax^{3}\right]^1_0=0$
$\frac{1}{3}a=0$ ∴$a=0$
$g(x)=1$のとき
$\int_{-1}^1f(x)g(x)dx=0$より $\int_{-1}^{1}(3x^{2}ax+b)dx=0$
$2\int_{0}^{1}(3x^{2}+b)dx=0$,$\left[x^{3}+bx\right]^1_0=0$
$1+b=0$ ∴$b=-1$
逆に,$a=0$,$b=-1$のとき,$g(x)=px+q$とすると
$\int_{-1}^1f(x)g(x)dx=\int_{-1}^{1}(3x^{2}-1)(px+q)dx$
$=\int_{-1}^1(3px^{3}+3qx^{2}-px-q)dx=2\int_{0}^1(3qx^{2}-q)dx$
$=2\left[qx^{3}-qx\right]^1_0=2(q-q)$
$=0$
となる。よって求める$a$,$b$の値は$a=0$,$b=-1$
(2)中盤
$f(x)=h(x)$を解くと$3x^{2}-1=cx+5$,$3x^{2}-cx-6=0$ ・・・①
①の2解を$α$,$β$($α<β$)とすると,解と係数の関係から
$α+β=\frac{c}{3}$,$αβ=-2$ ・・・②
$α<x<β$のとき$f(x)<h(x)$なので
2曲線で囲まれた部分の面積について次の式が成り立つ。
$\int_α^β(h(x)-f(x))dx=\frac{27}{2}$
$\int_α^β(-3x^{2}+cx+6)dx=\frac{27}{2}$
$\frac{3}{6}(β-α)^{3}=\frac{27}{2}$ ∴$β-α=3$
このとき$(β-α)^{2}=9$,$(α+β)^{2}-4αβ=9$
②を代入すると$\left(\frac{c}{3}\right)^{2}+8=9$
$\left(\frac{c}{3}\right)^{2}=1$ これを満たす正の数$c$は$3$
このとき①より$3x^{2}-3x-6=0$,$x^{2}-x-2=0$
$(x+1)(x-2)=0$ ∴$x=-1,~2$
つまり交点の座標は($-1,~2$),($2,~11$)
(2)後半
$f(x)h(x)=0$つまり$(3x^{2}-1)(3x+5)=0$の解は$x=\frac{-5}{3},~-\frac{1}{\sqrt{3}},~\frac{1}{\sqrt{3}}$であり,このうちで最小の値は$\frac{-5}{3}$
このとき
$\int_\frac{-5}{3}^1f(x)h(x)dx=\int_\frac{-5}{3}^1(3x^{2}-1)(3x+5)dx$
$=\int_\frac{-5}{3}^1(9x^{3}+15x^{2}-3x-5)dx$
$=\left[\frac{9}{4}x^{4}+5x^{3}-\frac{3}{2}x^{2}-5x\right]^1_\frac{-5}{3}$
$=\frac{64}{27}$

【感想】
数Ⅱ微分積分,頻出分野ですね。標準レベルです。
(2)では,上記のように,1次関数$g(x)$として超簡単なもので試すことで定数$a,~b$を求めてしまえます。穴埋め問題では値が決まれば即終了ですが,記述式の場合は×です。必要条件しか使っとらん,十分性を確かめておく必要がありますのでご注意。最後の定積分は計算だけですがしんどいです,ここは後回しまたはスルーしますか。

近大推薦・数学解答いきます②

こんにちは。KEC茨木本校2230です。
近大推薦入試(12/3),数学の解答続編,数学①②共通の第2問です。

【解答】
アイ=31
ウエ,オ=93,3
カキ,ク,ケコ,サ=11,3,93,6
シス,セ,ソタ=-5,3,12
チ,ツ,テ=5,3,2
ト=3
ナニ,ヌ,ネ=15,3,4

【解説】
(1)
余弦定理より$\mathrm{AB}^{2}=6^{2}+5^{2}-2×6×5×\mathrm{cos}B$
$\mathrm{AB}^{2}=36+25-2×6×5×\mathrm{cos}60°$
∴$\mathrm{AB}=\sqrt{31}$
(2)
正弦定理より,外接円の直径が$\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{sin}B}=\frac{\sqrt{31}}{\mathrm{sin}60°}=\frac{2\sqrt{31}}{\sqrt{3}}$
なので,半径は$\frac{\sqrt{93}}{3}$
内接円の半径を$r$とすると,△ABCの面積について次の式が成り立つ。
$\frac{1}{2}r(\mathrm{AB}+\mathrm{BC}+\mathrm{AC})=\frac{1}{2}\mathrm{AB}\cdot\mathrm{BC}~\mathrm{sin}B$
$\frac{11+\sqrt{31}}{2}r=15×\frac{\sqrt{3}}{2}$
$r=\frac{15\sqrt{3}}{11+\sqrt{31}}=\frac{11\sqrt{3}-\sqrt{93}}{6}$
(3)
2つの三角形△ABCと△APTは相似であり,相似はAB:AP=6:$x$
よって,$\mathrm{PT}=\mathrm{BC}×\frac{x}{6}=\frac{5}{6}x$
BCを底辺としたときの△ABCの高さは$\mathrm{ABsin}B=3\sqrt{3}$
PTを底辺としたときの△APTの高さは$3\sqrt{3}×\frac{x}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}x$
よって$\mathrm{PQ}=3\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}x$
長方形の面積は$S=\mathrm{PT}×\mathrm{PQ}=\frac{-5\sqrt{3}}{12}x^{2}+\frac{5\sqrt{3}}{2}x$
変形すると$S=\frac{-5\sqrt{3}}{12}(x-3)^{2}+\frac{15\sqrt{3}}{4}$
よって$x=3$($0<x<6$を満たす)のとき$S$は最大となり,最大値は$\frac{15\sqrt{3}}{4}$

【感想】
数Ⅰ図形と計量,2次関数からの出題でした。易しめです。
外接円や内接円は定番ですね。長方形の計量では,$\mathrm{PB}=6-x$,$\mathrm{PQ}=\mathrm{PB}~\mathrm{sin}B$として求める方法もあります。平方完成など,きちんと作業するのみです。

近大推薦・数学解答いきます①

こんにちは。KEC茨木本校2230です。
昨日(12/3)の近大推薦入試,数学を解いてみました。
受験生の皆さんの参考となれば幸いです。

まずは,数学①②共通の第1問です。
【解答】
ア,イ=-,1
ウ,エ=2,3
オカ=-1
キ,ク,ケ=3,7,2
コ,サ=2,9
シ,ス=1,9
セ,ソタチ=5,216

【解説】
(1)前半
$y=x^{2}+(2a-2)x+2a^{2}-4a-2$
$~~=(x+a-1)^{2}+a^{2}-2a-3$
よって頂点の座標は($-a+1$,$a^{2}-2a-3$)

(1)後半
次の3つの条件を満たす$a$を求める。
①頂点の$x$座標(放物線の軸の位置)について
$-a+1>-1$ ∴$a<2$
②頂点の$y$座標について
$a^{2}-2a-3<0$ ∴$-1<a<3$
③$x$座標が$-1$のとき$y$座標は正になるので
$2a^{2}-4a-2>0$
∴$x<\frac{3-\sqrt{7}}{2},\frac{3+\sqrt{7}}{2}<x$
これら3つを同時に満たす$a$の値の範囲は
$-1<x<\frac{3-\sqrt{7}}{2}$

(2)解答前の準備
さいころを投げて,2または4の目が出る事象をA,3の目が出る事象をB,6の目が出る事象をC,1または5の目が出る事象をDとする。 A,B,C,D各事象が起こる確率は順に$\frac{1}{3},\frac{1}{6},\frac{1}{6},\frac{1}{3}$である。
(ⅰ) Aが2回,またはCとDが1回ずつ起きるときである。 確率は$\left(\frac{1}{3}\right)^{2}+_2\mathrm{C}_1×\frac{1}{6}×\frac{1}{3}=\frac{2}{9}$
(ⅱ) Aが2回とBとDが1回ずつ,またはBとCが1回ずつとDが2回起きるときである。 確率は$\frac{4!}{2!}×\left(\frac{1}{3}\right)^{2}×\frac{1}{6}×\frac{1}{3}+\frac{4!}{2!}×\frac{1}{6}×\frac{1}{6}\left(\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{1}{9}$
(ⅲ) 始めの3回とあとの2回に分けて考える。 始めの3回では,A2回とD1回,またはC1回とD2回が起きるときである。
この確率は$_3\mathrm{C}_2×\left(\frac{1}{3}\right)^{2}×\frac{1}{3}+_3\mathrm{C}_1×\frac{1}{6}×\left(\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{1}{6}$ あとの2回では,実質4だけ進めばよい。AとCが1回ずつ,またはBが2回起きるときである。 この確率は$_2\mathrm{C}_1×\frac{1}{3}×\frac{1}{6}+\left(\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{5}{36}$
よって求める確率は$\frac{1}{6}×\frac{5}{36}=\frac{5}{216}$

【感想】 (1)は2次関数,(2)確率でした。どちらも易しめ。
$x>-1$を満たす解が2つある,とすればありがちな問題ですが,グラフの位置ネタで提供してしまっているところは,易しすぎかも。確率はさいころと点の動きの合わせ技で,これもよくある題材ですね。事象の内訳を見落とさないように気を付けましょう。

第2問第3問も解答していきます,しばらくお待ちください。

指南②自信がないです

こんにちは。KEC茨木本校2230です。
いきなりですが,受験生に質問します。
①授業で,どう解いたのと聞かれても答えられないときってありませんか。
②もうすぐ入試だけれど,解ける気がしないとか。

YESだった人。
ひょっとして,自信ないんじゃないです?
じゃあ,どうすりゃ自信なんてつくのさって?

答えは,
淡々と練習する。勉強する。

これだけ?
そう,これだけ。

やってますけど?
そう,その積み重ね。薄い1枚1枚が積み重なって,分厚い束になるように。

薄っぺらすぎてもいけません。それなりのものが欲しいです。
知識レベルの暗記→解法習得の問題練習→過去問トレーニングは必須。
そこで,できなかった問題を次はできるように取り組む。

秋頃の授業では入試問題を題材に演習しますが,解けなくて凹むことも多いでしょう。
でも,どうすれば解けるのか,ビジョンや方向性など考え方をどんどん吸収しましょう。
そして次は自分だけで解けるように。
この繰り返しと積み重ねが,確実に力になります。
こうして,自信は自ら育むのです。

某武道では練習時に聖句というものを唱える場面がありまして,その一文に次のようなものがあります。
己れこそ己れの寄るべ 己れをおきて誰に寄るべぞ
良く整えし己れこそ まこと得がたき寄るべなり

信じられる自分になるために,日々努力しようではありませんか。
もうひとつ。
挑戦する皆を鼓舞する,呪術廻戦・伏黒恵の台詞をお届けしましょう。
「できるかじゃねぇ やるんだよ!!」

さあ,共に頑張りましょう。

おすすめ勉強法とおすすめ問題集〔大学受験〕

こんにちは!KECの藤原です。

おすすめの勉強方法と教材(問題集)をまとめています!

「勉強のやり方が分からない」「どんな問題集を使えばいいか迷っている」という方はぜひ参考にしてください!

英単語の勉強法とおすすめ教材

英文法の勉強法とおすすめ教材

英文解釈の勉強法とおすすめ教材

現代文の勉強法とおすすめ教材

古文の勉強法とおすすめ教材

数学の勉強法とおすすめ教材

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2023入試,秋の陣開戦

こんにちは。KEC茨木本校2230です。
11月も半ばとなり,学校推薦型選抜入試の時期に突入です。
昨日も,近大戦を終えて当校に直行したA君,P先生に出来具合を伺ってましたね。

複数回受験した人の方が一発狙いの受験生よりも合格率は高いようです。
それは,
 ①初回で場慣れする
 ②初回で最新出題傾向に触れられる
 ③今後の出題予想ができる
といった理由が挙げられますね。

うまくいけた人はそれでよし。
残念だとしても,今回の経験を一般選抜に活かせるはず,いいえ是非とも活かしてください。

数学勉強法とおすすめ教材

こんにちは!KECの藤原です。

各科目おすすめの勉強法と教材(問題集)を紹介します。
今回は数学です。

理系ではメイン科目、ほとんどの大学で必須かつ配点が最も高い。
初見の問題に対応できる力の養成が必要で、当日の出来次第での得点差が最も大きい科目といえます。

勉強の仕方に困っている人は参考にしてみてくださいね!

数学の勉強法

 *数学の勉強法*

高2までの間は、数学の問題を解くための「道具・武器」をそろえることを意識。公式や解法パターンのインプットと入れた知識を使う演習によって数学力は向上する。
英文法と一緒だが、正しく理解して、それを運用する練習の繰り返しがとにかく大事。

*おススメ数学問題集*

「正しい」計算方法が習得できる!
合格(うか)る計算

ただの計算練習ドリルではなく、定義を理解し、それを正しく運用する方法を教えてくれる。
ダメな計算方法の例も載せているので、どういう計算をすればいいかイメージしやすい。
整数や数列、関数、図形の問題で必要な視点も習得できる。ⅠAⅡB編とⅢ編がある。

数学の問題集の定番!苦手な人向け!
黄チャート

どこに着目して問題を解けばいいかを習得できる。例題だけでなく、類題も載っているので、理解したことを再現する練習もできる。
問題は入試基礎~標準レベルなので、数学がやや苦手~普通の人におススメ。

❚ 数学の問題集の王道!難関大レベルまでカバー!
青チャート

黄チャートと形式は同じ。高いレベルの問題も載っているので、これだけで難関国公立対策の基礎固めもできる。
特にExerciseの問題までできれば、基礎固めとしては完璧。

❚ 数学の本質を理解し、確実な学力を身に付ける!
Focus Gold

基礎~応用まで幅広く扱われている。6段階構成になっており、目標に合わせて取り組みやすい。
解答・解説が非常に丁寧で、省略されがちな思考過程も載っているため自主学習用教材に適している。公式集も付いている。

 

基本的には高校で使っている問題集で大丈夫
何冊も手を出すのではなく、1冊を完璧に仕上げることを目標に。
できなかった問題をチェックしてできるまで何周も回せるかが重要です。


積極的に取り組んで、ライバルに差をつけましょう!

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国語勉強法とおすすめ教材〔古文編〕

こんにちは!KECの藤原です。

各科目おすすめの勉強法と教材(問題集)を紹介します。
今回は国語〔古文編〕です。

文章次第と言って勉強しない人が多いですが、勉強すれば伸びます。
現代文は意外と配点が高く合否を大きく左右することを知っておきましょう。

勉強の仕方に困っている人は参考にしてみてくださいね!

国語の勉強法

*古文の勉強法*

古文は、まず文法の基礎を固めることが必要。
用言の活用は、活用ごとに整理したうえで、活用表を何度も唱えて覚えていく。
また、助動詞では、活用・接続・意味の3点を意識して理解と暗記をしていく。
敬語は、尊敬語・謙譲語・丁寧語を整理して覚え、敬意の対象を常に意識して文章を読めるようトレーニングしていく。
「読むために使う」という意識で、文法の勉強をしていくことが非常に重要。

*おススメ古文問題集*

古文文法のドリルの定番!
ステップアップノート30古典文法トレーニング

動詞の活用から敬語まで、文法事項を網羅したドリル。これ一冊仕上げれば、文法の基本は固められる。
文法のポイントの確認問題に加え、それぞれの文法項目ごとに読解問題もあり、知識の活用練習もできる。

読解に必要な文法を基礎~応用まで!
古文上達
読解と演習45

こちらも同氏の活用から敬語まで網羅されている。もちろん文法もしっかり学べるが、ゴールを「読むこと」に設定しているので、読解問題の解説が充実している。
ある程度古文の知識がある人向けだが、中堅大学から難関大学まで対応できる。


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英語勉強法とおすすめ教材〔英文解釈編〕

こんにちは!KECの藤原です。

各科目おすすめの勉強法と教材(問題集)を紹介します。
今回は英語〔英文解釈編〕です。

英語はほとんどの大学で必須かつ配点が最も高い。
そして、正しく勉強すれば一番確実に伸び、点数も安定する科目です。
勉強の仕方に困っている人は参考にしてみてくださいね!

英語の勉強法

*英文解釈の勉強法*

名詞節・形容詞節・副詞節など、「カタマリ」を意識して読む。
この形ならこういう意味になるという「構文」を項目ごとに学習すること。

*おススメ英文解釈問題集*

英文の見方が変わる!
世界一わかりやすい英文読解の特別講座

今まで何となく英文を読んでいた人は「そういうことやったんか!」となるポイントが多い。
内容も体系だっており、説明もわかりやすい。
1つのポイントで2つの英文が載っているが、2つ目は歯ごたえがあるので、英語がある程度得意な人にもおすすめ。

適当に単語をつなげて読むような読み方とはおさらば!
大学受験のための英文熟考

テキトーに単語同士をつなげて読むのではなく、どう考えて読めばいいのかを論理立てて説明してくれる。
一つひとつの英文が短いので、取り組みやすい。
文章での解説とCDでの解説があるのも理解しやすい。単語の意味についての説明もある。
英語の基礎がある程度固まっている人向け。下巻もあり。

読むためのポイントを整理!
英文解釈の技術100

英文のどこに着目すれば意味がわかるようになるか、そのために必要な知識・テクニックを項目ごとに整理して習得できる。練習問題も載っている。
「英文解釈の技術100」(難関大)、「基礎英文解釈の技術100」(中堅大~難関大)、「英文解釈の技術70」(入試基礎~中堅大)があるので、志望校や現状によって最適なものを使うことができる。


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英語勉強法とおすすめ教材〔英文法編〕

こんにちは!KECの藤原です。

各科目おすすめの勉強法と教材(問題集)を紹介します。
今回は英語〔英文法編〕です。

英語はほとんどの大学で必須かつ配点が最も高い。
そして、正しく勉強すれば一番確実に伸び、点数も安定する科目です。
勉強の仕方に困っている人は参考にしてみてくださいね!

英語の勉強法

*英文法の勉強法*

まずは理解、そして反復練習がすべて。
文法問題ができるようになる、というよりは、読むときに文法を意識することができているかに焦点を当てて勉強をしていくこと。
入試問題で選択問題や聖女英作文が出る大学を受ける人は、その形式の鬼門問題の練習も高2の間には一通りしておきたい。

*おススメ英文法問題集*

これ一冊で文法・語法の基礎固めはバッチリ!
Focus Finder英文法・語法問題

文法は全単元網羅しており、語法も載っている。問題数は1000問ほどあるが、それを感じさせないくらいの厚さなので取り掛かりやすい。
解説もシンプルで分かりやすいことも特徴。

これだけ演習すれば、やることなし!
成川の深めて解ける!英文法OUTPUT

アウトプット用の問題集だが、問題量が多く、解説もかなり詳しい。
解説がわかりやすいので、一人で学習するのにも向いている。
基本単元ごとに整理されているが、巻末にはランダムの問題集も付いている。
ただ、問題と解説の量が多いため、かなり分厚い。

英文を読むときに意識してほしい文法が習得できる!
肘井学の読解のための英文法

4択問題などの文法問題の対策用ではなく、英文を読むときにどういうことを意識してほしいか、どういうことを理解して運用しなければいけないかを分かりやすく解説してくれている。
英文を読むのに苦戦している人には、上の2つの問題集よりもこちらをやってほしい。


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