こんにちは。KECの塾・予備校部門，数学・理科担当の川渕です。
先日，テレビのバラエティ番組をみていたときのこと。
「芸人10人が交代で１曲歌う」という企画をやっていました。

この企画のポイントは，歌う順番が決まっていないこと。
1曲を10のパートに分けているのですが，それぞれ自分の判断で歌い始めるため，歌うパートが被ってしまうことがあります。
「歌う人が被ったらアウト」というルールで，10人が誰とも被らずに歌えるまで，繰り返しチャレンジするというものでした。

さすがに誰とも被らないというのは難しく，芸人の皆さんは苦労している様子。
番組の中で「10人が被らずに歌える確率は，計算上，約1/2756」と紹介されていました。
確率を出されると数学の講師としては気になるところなので，計算してみました。

10人が歌う代わりに，「10人が1から10の間の好きな整数を一斉にいう」と場合を考えます。
彼らがいった整数が，歌う順番を表すとします。
ということで，この問題を「10人が1から10の間の整数を一斉に答えるとき，その数字が被らない確率を求める」として計算します。

まず，すべての答え方が何通りあるかを求めます。
10人がそれぞれ10通りの答えを言うので，すべての答え方は10¹⁰（10の10乗）通り。
次に，被らない答え方が何通りあるかを求めます。
答えが被らないときは，10人の答えが1から10のいずれかになっているはずなので，被らない答え方の総数は1から10の並べ方の総数に等しく，10!（10の階乗）通り。

よって，求めたい確率は，

（被らない答え方の総数）/（答え方の総数）
＝（10!）÷（10¹⁰）
＝567/1,562,500

となり，番組内で紹介された確率とあいません。
ただ，分子を1にすると
約1/2755.73…
となるので，ほぼ，1/2756に等しくなりました。

ついでに，Excelでシミュレーションもしてみました。
AからJの10人分の乱数を3000回発生させて，10人の答える数字が被るかどうか調べました。
何回か調べたのですが，例えば，この時は451回目に被りませんでした。

RANDBETWEEN(1,10)で1から10の乱数を発生させます。

A～Jの数字が被るかどうか，自分より右の数をすべて調べて被る回数をカウントしています。
被る数が無ければ右のL列からT列の9個の数字はすべて0になります。
※ここでは，L列からT列の和が0になれば「成功」と表示されるようにしています。
番組のように実際に歌って一致するかどうか調べるとなると，本当に大変そうですね。

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