ひろとさんがつくったプログラム

こんにちは。KECの塾・予備校部門,高槻本校の数学・理科担当の川渕です。
先日,令和4年(2022年)度の全国学力テストが実施されました。
小学算数では,大問4問のうちの4問目が,プログラミングに関する問題でした。
その最後の問題は,プログラムをみてどんな図形ができるか答える問題。
【ひろとさんがつくったプログラム】として,次のような7つの文が載っていました。

1 4cmの直線を引く。
    ↓
2 左に60°回転する。
    ↓
3 3cmの直線を引く。
    ↓
4 左に120°回転する。
    ↓
5 4cmの直線を引く。
    ↓
6 左に60°回転する。
    ↓
7 3cmの直線を引く。
※行番号は筆者による

折角なので,恒例のScratchで【ひろとさんがつくったプログラム】を再現してみました。

※動画がもっさりしているのは,筆者のPCの性能による

無事,正解の平行四辺形を描くことができました。
プログラム自体は単純なのですが,動画の見やすさのためにいろいろ手を加えています。
所々でちょっと待機したり,ゆっくり回転するために繰り返しを入れたりして工夫しました。

KECでは,小学生向けに様々な講座を開講しています。
算数・国語の通常授業に加え,プログラミングを学ぶ「プロクラ」,KECで英検を受験できる「小学英語」,読解力を上げる「速読」など,さまざまなコンテンツがあります。
塾生の皆さんの学力向上のため,さまざまな工夫をしているKECの授業を,ぜひ,体験してみてください。


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池の周りをまわる

こんにちは。KECの塾・予備校部門,高槻本校の数学・理科担当の川渕です。
春期講習が終わり,小中学生にはテストの返却を始めています。
補習が必要な塾生には順番に実施しています。
塾生だけでなく,私も春期講習の問題を振り返ろうと,ある数学の問題について考えてみました。
2人が池の周りをまわる,いわゆる旅人算です。
恒例のScratchでコードを書いて再現してみました。
 

 
2台のUFOが池の周りをまわるのですが,軌跡が赤色のUFOが速く緑色のUFOが遅いです。
同地点から同時に出発して逆方向にまわると,そのうち2台は出会います。
 


 
このとき,「2台が進んだ道のりの和は,池の周りの長さと等しく」なります。
※道のりをわかりやすくするために,池よりやや外側に軌跡を描いています。
 

Scratch 3.21.0


 
同地点から同時に出発して同じ方向にまわる場合は,速い方が遅い方に追いつきます。
 

 
このとき,「2台が進んだ道のりの差が,池の周りの長さと等しく」なります。
※道のりをわかりやすくするために,速い方は徐々に外側に移動しています。
 

Scratch 3.21.0


 
逆方向にまわる場合はイメージしやすいのですが,同じ方向の場合は少しイメージし辛いようす。
チョークで追いかけっこしようとしたこともあるのですが,なかなか難しいです。
そこで,動画でわかりやすくしてみました。

算数,数学の問題は,プログラミングで再現しやすいものが多いです。
現実に比べれば,すごく単純化された状況になっているからです。
速さの問題をするとき,塾生によく
「この人たちはな,分速80mで歩き続けるねん。」
「信号があろうが,イヌに吠えられようが,何があっても分速80mをキープするねん。」
「出会いそうになったり,追いつきそうになったりしても,絶対に速さを変えへんねん。」
と言って問題をイメージ(?)してもらっていました。
今後は,他の方法でも伝えていこうといろいろ工夫をしています。

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Love Formula

こんにちは。KECの塾・予備校部門,高槻本校の数学・理科担当の川渕です。
先日,2月15日のこと。
アシスタントとこんな会話をしました。
「先生,奥様からチョコレートを貰ったんですか?」
「貰ったで」
「やっぱりハート形ですか?」
「いや,ふつうの形やで」

個人的には,あまりハート形が好きではありません。
食い意地が張っている私としては,ハート型のあのへこんだ部分が苦手です。
へこんだ部分があると,なんとなく損をした気分になるのです。
そんなハート形のことが気になったので,3月14日を前にして調べてみました。

調べてみると,ハート形を表す式があるそうです。

という式で,海外では「The Love Formula」と呼ばれているとのこと。
せっかくなので,恒例のスクラッチでコードを書いて描いてみました。
 


 
このハート形,面積について,面白い性質があります。
なんと,単位円と面積が同じです。
つまり,この式でできるハート形の面積は,半径1の円の面積と同じπになります。


 
ただ,ハート形の方が原点から遠い点を通過するので,例えば,四角形の箱に入れるとしたら,ハート形の方が大きい箱が必要になります。
 

Scratch 3.21.0

【面積についての補足】
The Love Formulaの式をyについて解くと,ハート形の向かって右上(心臓でいうと左心房)の部分を表す式はy=x^(2/3)+√(1-x^2)…(1),右下(左心室)の部分はy=x^(2/3)-√(1-x^2)…(2)になります。
ハート形の右半分の面積を求めるためには上の式(1)から下の式(2)を引いてから積分しますが,この場合,(1)と(2)の差が2√(1-x^2)になります。
これは,円の面積を求めるときの式と同じなので,ハート形と円の面積は同じになることがわかります。

Scratch 3.21.0

ということで,ハート形はかさ張るわりには面積が大きくないことがわかりました。
ただ,本当にハート形のチョコレートを貰った時は,文句を言ってはいけません。
感謝の気持ちを忘れないことが,なにかと円満になる秘訣です。

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静電気

こんにちは。KECの塾・予備校部門,高槻本校のお祭り担当の???です。
産近龍や私立高校の合格報告が続々と届いています。
そんな中,新年度に向けて,次の受験生になる塾生たちの目標シートを掲示しました。
今回のテーマは「秋」です。

さて,この目標シート。
高槻本校に入ってすぐのカウンターのところに掲示しています。
カウンターの上には,コロナ対策のために透明な塩ビ板を設置しています。

塩ビ板は,事務所だけでなく教室にもおいています。
教室の場合,チョークの粉で板が汚れがち。
そこで,ティッシュで拭いてみると・・・


 
ティッシュがくっついてしまいました。
これは,静電気のしわざですね。
春とはいえまだ寒いこの季節。
静電気が発生しやすくなります。
ということで,カウンターの塩ビ板には,案内物を静電気で貼りつけています。

※奥の柱に貼りつけているのは高2Reスタート講座の案内です。


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ニュートン法

こんにちは。KECの塾・予備校部門,高槻本校の数学・理科担当の川渕です。
高校生のテスト期間が近づいてきました。
数学IIで最後に習う項目は微分・積分。
微分ではグラフの接線を求めたりしますが,今回は,その接線についてのお話です。

「接線を求めて何が嬉しいのかな・・・」と高校時代の私は思っていたのですが,大学生になってその活用法を知りました。
例えば「ニュートン法」というものがあります。
方程式の解を反復計算で求めるアルゴリズムです。
こんなイメージで計算していきます。

方程式をグラフにすると,x軸との交点が解を表します。
ここで適当なx=x1でグラフ接線を引き,x軸との交点をx2とします。
つぎに,x=x2でグラフ接線を引き,x軸との交点をx3として・・・
を繰り返していくと,求めたい解に近付いていきます。
これを利用すると,例えば,y=x2-nのグラフから√nの近似値を求めることができます。
反復計算はコンピュータが得意とするところ。
そこで,恒例の(?)スクラッチでコードを書いてみました。

繰り返し部分にややこしそうな数式がありますが,これは,x=aにおけるy=x2-nの接線とx軸との交点を計算する式です。
これが漸化式になっていて,求まった値を次々代入することで√nに近づいていきます。
実行すると,こんな感じになります。
 


 
高校数学は,後半になるにつれ応用例が増えてきます。
大学で理工系に進むと、たいてい微分・積分が必修です。
KEC高槻本校では,冬期講習から始まる「リスタート数学」で数II,数Bの復習をし,2月から数IIIを開講します。
この機会に数学の反復学習をしたい方は,ぜひ,KEC高槻本校にお問い合わせください。

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ユークリッドの互除法

こんにちは。KECの塾・予備校部門,高槻本校の数学・理科担当の川渕です。
先日,高1数学の授業で「ユークリッドの互除法」を取り上げました。
2つの自然数の最大公約数を探す方法の1つで,ざっくりいうと,割り算を繰り返すことで求める方法です。
繰り返し計算するのはコンピュータが得意とするところで,恒例のScratchでプログラミングするとこんな感じです。

2020年度の京都産業大学の入試で出題された「1591と1517の最大公約数を求めよ」という問題も,一瞬で答えが出せます


 
数学の授業では手計算をするのですが,やり方さえわかれば後は計算だけの問題なので,いまひとつ,盛り上がりに欠ける単元です。
そこで,難関の国立大学でユークリッドの互除法を使う問題はないか・・・
と探したところ,見つけました。
2019年(平成31年)度の東京大学の入試で出題されています。
東京大学の公式サイトに入試問題が載っています。
https://www.u-tokyo.ac.jp/ja/admissions/undergraduate/e01_04.html
数学(理科)の第4問が,互除法を使う問題です。

東大の入試問題は,いろんな予備校のサイトに掲載されています。
そちらの方が解答・解説もあって便利です。
ただ,公式サイトの問題は,実際の問題冊子をそのままPDF化したようで,それもまた興味深いです。
たとえば,数学の問題冊子には,問題だけでなく「計算用紙」としてほぼ白紙のページがあります。
平成31年度の数学(理科)だと,問題が6ページ(大問1問ごとに1ページ)に対し,計算用紙のページは12ページ。
なんと,計算用紙が問題の倍もあります。

大学側も,それくらい計算用紙が必要だということで用意しているのでしょう。
やっぱり,数学は手を動かさなければいけません。
という話を,小学生の頃から繰り返し指導しています。
小中高一貫指導のKECが得意とするところです。

表面張力

こんにちは。KECの塾・予備校部門,高槻本校のお祭り担当の???です。
秋が深まって来ています。
10月といえば,ハロウィ・・・
の話はいったん置くとして,寒くなってきたので別館の自習室にある加湿器の清掃をしました。

大きな洗面器でフィルターを洗っていたのですが,そこで,ふと思いつきました。
久しぶりの実験です。
洗面器に水を張り,折り紙の舟を浮かべてみました。

ここで,水面に食器用洗剤を垂らすと,どうなるでしょうか?


 
このように,洗剤を垂らした場所とは反対の方向に舟が動きます。
これは表面張力のせいです。
水をお皿の上などで数滴たらすと小さくまとまりますが,これは,水分子が互いに引っぱりあって表面積を小さくしようとするからです。
この働きを表面張力といいますが,食器用洗剤には,表面張力を小さくする効果があります。
そのため,洗剤を垂らした所の付近は,まわりよりも引っぱる力が弱くなり,反対側に舟が引っ張られることになります。

ちなみに,今回の実験,撮影の都合上,私の顔が映らなかったので,舟を持っての記念撮影もしておきました。

昨日(10/25)は英検1次試験の合格発表があり,高槻本校の塾生も頑張りました。
中1で3級に合格したり,中2で英語が苦手な塾生も着実に4級に合格したりしています。
英検の次はKECの能力診断テスト,その次は学校の定期テスト,ということで,高槻本校では,理科担当の川渕先生が中1中2向けの理科の公開講座を実施します。

ぜひ,この機会に受講をご検討ください。
ご不明な点等ございましたら,高槻本校までお気軽にお問い合わせください。
尚,校舎に来ていただくタイミングによっては,私???が,仮装をして受付する場合があります。


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コリオリの力

こんにちは。KECの塾・予備校部門,高槻本校の数学・理科担当の川渕です。
台風が多くなる時期になりました。
台風は低気圧の一種ですが,低気圧では,中心に向かって左回りに風が吹きます。
これは,地球の自転により発生する見かけの力「コリオリの力」が関係しています。

地球の自転の向きは,北極から見ると反時計回りです。
北半球で運動する物体は,自転の影響で右向きの力が働きます。
例えば,反時計回りを回転している人達がキャッチボールをすると,どうなるでしょうか。
謎のUFOが妖精に向かってボールを投げるようすを,Scratchで再現してみました。
回転の中心にいるUFOがボールを投げます。
 


 
ボールはまっすぐ飛んでいますが,回転するUFOから見ると,ボールが右にそれる感じが伝わるでしょうか。
UFOや妖精と一緒に回転する視点で見ると,こんな感じになります。
 

 
回転する人達から見ると,あたかもボールに力がはたらいて曲がったように見えます。
このように,回転座標系で運動物体にはたらく見かけの力を「コリオリの力」といいます。
ざっくりいうと,この力の影響で,北半球では高気圧から吹き出す風は右回りになります。
低気圧に吹き込む風は,右にそれてから中心に向かうので,左回りで吹き込みます。

このコリオリの力ですが,気象のような大きなスケールになると現れてきますが,身のまわりではなかなか気づけません。
例えば,野球のピッチャーが時速150kmの球を投げる場合,コリオリの力で右にそれるのですが,そのそれ幅は1mm程度だそうです。
お風呂のお湯を抜くときに水流が回転しますが,俗に,北半球では反時計回り,南半球では時計回りにまわると言われます。
ですが,実際には,お風呂程度ではコリオリの力の影響がごくわずかなので,あまり影響がないとのこと。

ただ,琵琶湖ぐらいの大きさになると,コリオリの力に影響された水流が発生するそうです。
さすが日本一の琵琶湖,スケールが大きいですね。
その琵琶湖のほとりには,KECの中でもスケールが大きい石山本校があります。
ときどき石山本校のブログで高槻の名前が出てくるので,の機会の取上げております。

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扇風機の力で

こんにちは。KECの塾・予備校部門,高槻本校のお祭り担当の???です。
最近,エタノールのスプレーも持ち歩くようになりました。
暇を見つけては除菌に励んでいます。
この勢いで,「なにかエタノールを使った実験を・・・」と考えたのですが,このご時世,消毒液を無駄にしたくないところ。
その辺は,わりと空気を読めるマスクマンです。

さて,空気といえば,今回も空気を利用した実験です。
夏期講習も終盤に入りましたが,まだまだ講座が残っています。
川渕先生が担当している物理のテキスト。
これを,以前購入した手持ち扇風機の力で持ち上げてみましょう。


 
扇風機の風を当てるだけではテキストを持ち上げることはできませんが,ビニール袋を使うとそれが可能です。
圧力と面積の積が力です。
力が作用する面積を大きくすれば,小さな圧力でも大きな力を出せます。
そのため,扇風機の弱い風圧でもテキストを持ち上げることが出来ました。
クレーンなどの油圧機器で同じ原理が使われています。

高槻本校の夏期講習は,まだまだ講座が残っています。
この実験,残っている講座のテキストを何種類か使う予定でした。
しかし,リハーサルであまり上がらなかったので物理だけを持ち上げています。

実は,この実験。
元ネタに利用した本では「ビニール袋に息を吹き込んで人を持ち上げてみよう」と紹介されていました。
「さすがにこのご時世,息を吹き込むのはちょっと・・・」ということで,今回,扇風機に変えて実験してみました。
その辺は空気を読んだのですが,いずれ「息を吹き込んで人を持ち上げる実験ができる日が来てほしい」と消毒に励んでいます。

・・・このマスクは口から呼吸ができないのですが。


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☆???の微妙な実験動画シリーズ☆
1 折れる割りばし
2 踊る十円玉
3 縮む腕
4 浮き上がる紙
5 凍らせた麦茶
6 つながる輪
7 ほうきの重心

サイン・コサインって・・・

こんにちは。KECの塾・予備校部門,高槻本校の数学・理科担当の川渕です。
高槻本校は,8月14日(土)~17日(火)の4日間,お休みを頂いています。
8月18日(水)から,夏期講習の第3タームを開講します。

夏期講習の前半期間,小学生の塾生から,こんなことを言われました。
「先生,サイン・コサインって,いつ使うん?」
サイン・コサインを習うのは高校の数IA。
小学生がそれを知っているのは優秀ですが,しかし,この発言には,「サイン・コサインを習って何の役に立つの・・・」といったニュアンスも含まれる気がします。

サイン・コサインは,もちろん,とても重要な関数です。
一例を挙げると,大学の専攻によっては数学で「フーリエ級数」を習います。
ざっくりいうと,いろんな関数を三角関数の和で表す技です。
例えば,こんな関数も近似できます。

上記の形のグラフは,細かい議論は抜きにして,
sin x + (sin3x)/3 + (sin5x)/5 + ・・・ + {sin(2n-1)x}/(2n-1) + ・・・
という無限級数の和を利用することで近似できます。
実際に,sin x,sin x +(sin3x)/3,sin x + (sin3x)/3 + (sin5x)/5,と少しずつ項を増やしてグラフを描くと,だんだん目的の関数に近付くようすがわかります。
ということで,恒例のScratchで表現してみました。
n=1,n=2,n=3,n=4,n=10,n=50の場合を順に描いています。
 


 
 
手計算でこんなことをするのは大変ですが,さすがコンピュータ。
難なくこなします。
Scratchは子ども向けのプログラミング言語ですが,三角関数はあらかじめ用意されています。

ところで,例の塾生の発言。
「サイン・コサインって,いつ使うん?」ですが,実は,続きがあります。
「・・・って,陣〇のネタで言ってた。」
質問ではなく,まさかの報告でした。
ただ,いずれ本当に「いつ使うん?」と思う日が来るかもしれません。
そこで,お休み中にグラフを作成してみました。
こんな感じで(?),第3ターム開講に向けての準備は万端です。


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/*Scratchでコードを書いてみたシリーズ*/
1 楕円の焦点
2 放物線の焦点
3 ドップラー効果
4 光の屈折
5 転がる円の軌跡
6 動点P
7 曲技飛行
8 さいころの目が一致