こんにちは。KEC茨木本校2230です。
近大推薦入試(12/3)，数学の解答続編，数学①②共通の第2問です。

【解答】
アイ=31
ウエ,オ=93,3
カキ,ク,ケコ,サ=11,3,93,6
シス,セ,ソタ=-5,3,12
チ,ツ,テ=5,3,2
ト=3
ナニ,ヌ,ネ=15,3,4

【解説】
(1)
余弦定理より$\mathrm{AB}^{2}=6^{2}+5^{2}-2×6×5×\mathrm{cos}B$
$\mathrm{AB}^{2}=36+25-2×6×5×\mathrm{cos}60°$
∴$\mathrm{AB}=\sqrt{31}$
(2)
正弦定理より，外接円の直径が$\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{sin}B}=\frac{\sqrt{31}}{\mathrm{sin}60°}=\frac{2\sqrt{31}}{\sqrt{3}}$
なので，半径は$\frac{\sqrt{93}}{3}$
内接円の半径を$r$とすると，△ABCの面積について次の式が成り立つ。
$\frac{1}{2}r(\mathrm{AB}+\mathrm{BC}+\mathrm{AC})=\frac{1}{2}\mathrm{AB}\cdot\mathrm{BC}~\mathrm{sin}B$
$\frac{11+\sqrt{31}}{2}r=15×\frac{\sqrt{3}}{2}$
$r=\frac{15\sqrt{3}}{11+\sqrt{31}}=\frac{11\sqrt{3}-\sqrt{93}}{6}$
(3)
2つの三角形△ABCと△APTは相似であり，相似はAB:AP=6:$x$
よって，$\mathrm{PT}=\mathrm{BC}×\frac{x}{6}=\frac{5}{6}x$
BCを底辺としたときの△ABCの高さは$\mathrm{ABsin}B=3\sqrt{3}$
PTを底辺としたときの△APTの高さは$3\sqrt{3}×\frac{x}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}x$
よって$\mathrm{PQ}=3\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}x$
長方形の面積は$S=\mathrm{PT}×\mathrm{PQ}=\frac{-5\sqrt{3}}{12}x^{2}+\frac{5\sqrt{3}}{2}x$
変形すると$S=\frac{-5\sqrt{3}}{12}(x-3)^{2}+\frac{15\sqrt{3}}{4}$
よって$x=3$（$0<x<6$を満たす）のとき$S$は最大となり，最大値は$\frac{15\sqrt{3}}{4}$

【感想】
数Ⅰ図形と計量，2次関数からの出題でした。易しめです。
外接円や内接円は定番ですね。長方形の計量では，$\mathrm{PB}=6-x$，$\mathrm{PQ}=\mathrm{PB}~\mathrm{sin}B$として求める方法もあります。平方完成など，きちんと作業するのみです。

こんにちは。KEC茨木本校2230です。
昨日（12/3）の近大推薦入試，数学を解いてみました。
受験生の皆さんの参考となれば幸いです。

まずは，数学①②共通の第1問です。
【解答】
ア,イ=-,1
ウ,エ=2,3
オカ=-1
キ,ク,ケ=3,7,2
コ,サ=2,9
シ,ス=1,9
セ,ソタチ=5,216

【解説】
(1)前半
$y=x^{2}+(2a-2)x+2a^{2}-4a-2$
$~~=(x+a-1)^{2}+a^{2}-2a-3$
よって頂点の座標は($-a+1$，$a^{2}-2a-3$)

(1)後半
次の3つの条件を満たす$a$を求める。
①頂点の$x$座標（放物線の軸の位置）について
$-a+1>-1$　∴$a<2$
②頂点の$y$座標について
$a^{2}-2a-3<0$　∴$-1<a<3$
③$x$座標が$-1$のとき$y$座標は正になるので
$2a^{2}-4a-2>0$
∴$x<\frac{3-\sqrt{7}}{2},\frac{3+\sqrt{7}}{2}<x$
これら3つを同時に満たす$a$の値の範囲は
$-1<x<\frac{3-\sqrt{7}}{2}$

(2)解答前の準備
さいころを投げて，2または4の目が出る事象をA，3の目が出る事象をB，6の目が出る事象をC，1または5の目が出る事象をDとする。 A,B,C,D各事象が起こる確率は順に$\frac{1}{3},\frac{1}{6},\frac{1}{6},\frac{1}{3}$である。
(ⅰ) Aが2回，またはCとDが1回ずつ起きるときである。 確率は$\left(\frac{1}{3}\right)^{2}+_2\mathrm{C}_1×\frac{1}{6}×\frac{1}{3}=\frac{2}{9}$
(ⅱ) Aが2回とBとDが1回ずつ，またはBとCが1回ずつとDが2回起きるときである。 確率は$\frac{4!}{2!}×\left(\frac{1}{3}\right)^{2}×\frac{1}{6}×\frac{1}{3}+\frac{4!}{2!}×\frac{1}{6}×\frac{1}{6}\left(\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{1}{9}$
(ⅲ) 始めの3回とあとの2回に分けて考える。 始めの3回では，A2回とD1回，またはC1回とD2回が起きるときである。
この確率は$_3\mathrm{C}_2×\left(\frac{1}{3}\right)^{2}×\frac{1}{3}+_3\mathrm{C}_1×\frac{1}{6}×\left(\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{1}{6}$ あとの2回では，実質4だけ進めばよい。AとCが1回ずつ，またはBが2回起きるときである。 この確率は$_2\mathrm{C}_1×\frac{1}{3}×\frac{1}{6}+\left(\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{5}{36}$
よって求める確率は$\frac{1}{6}×\frac{5}{36}=\frac{5}{216}$

【感想】 (1)は2次関数，(2)確率でした。どちらも易しめ。
$x>-1$を満たす解が2つある，とすればありがちな問題ですが，グラフの位置ネタで提供してしまっているところは，易しすぎかも。確率はさいころと点の動きの合わせ技で，これもよくある題材ですね。事象の内訳を見落とさないように気を付けましょう。

第2問第3問も解答していきます，しばらくお待ちください。