試作問題をスクラッチで再現

こんにちは。KECの塾・予備校部門,高槻本校の検定担当の川渕です。
先日,KECの能力診断テストの成績表が出ました。
三島や槻の木,高槻北,芥川,大阪青凌,金光大阪といった,地元の高槻市内の高校に通う生徒が多い高槻本校。
そんな中,高槻本校の高1の塾生が,数学のランキングで全校ベストテンに入っていました。
文理学科や難関私立高校の生徒もいる中,よく頑張ってくれました。
高1数学を担当している私もうれしい限りです。

さて,現高1生が受ける大学入学共通テストで話題の「情報」。
先日,大学入試センターから試作問題が発表されていました。
さっそく試作問題をみた私は,問題にあったプログラムをスクラッチで再現してみることにしました。
※試作問題はこちら
https://www.dnc.ac.jp/kyotsu/shiken_jouhou/r7ikou/r7houkousei.html
※KECの分析はこちら
https://www.prep.kec.ne.jp/blog/38929

プログラムは2つあって,テーマは買い物です。
1つ目が「ある金額を支払うとき,硬貨が最低何枚か」を調べるというもの。
例えば,46円の場合,10円玉4枚と5円玉1枚,1円玉1枚の計「6枚」を使用します。
この枚数を調べるプログラムを再現してみました。

さすがに高校生ともなると「配列」を使ったりするわけですが,スクラッチの仕様で,若干,試作問題とは異なる部分があります。
例えば,試作問題には,「配列の添え字は0から始まる・・・」と書いてありますが,スクラッチの仕様では,配列(リスト)の添え字は1から始まります。
他にもいろいろあるのを微妙に調整して,上のようなプログラムが完成しました。
無事,謎のUFOが「6」と言っています。

次に,2つ目の「客と店が交換する硬貨の枚数が最小となる数はいくつか」を調べます。
例えば,46円を支払う場合,50円(1枚)払って4円(4枚)のお釣りをもらうと計5枚の硬貨のやり取りがありますが,51円(2枚)を払って5円(1枚)のお釣りをもらえば計3枚の硬貨のやり取りで済みます。
この,最小の枚数「3」を調べたいプログラムです。

1つ目のプログラムを「関数」にして,2つ目のプログラムを作成しています。
試作問題のように作るのは難しかったのですが,なるべく寄せて作成しました。
無事,謎のUFOが「3」と言っています。

こんな感じで,日々,問題の研究(?)に余念がない高槻本校。
授業体験も随時受け付けています。
大学受験をお考えの高校生の皆さんは,ぜひ,体験授業から始めてみてください。
また,進度の加減で体験が難しい場合は,個別で微妙に調整する「オタスケ講座」も無料で実施しています。

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教科書に載っているプログラム

こんにちは。KECの塾・予備校部門,高槻本校の検定担当の川渕です。
今日,11月3日(木)は文化の日。
祝日でのんびり・・・
とはいかないのが高槻市内の中学校。
一部の中学がテスト期間なので,祝日もテスト対策実施中です。

さて,テストも近いということで,学校の教科書を見ていた時のこと。
高槻市の公立中学で採用されている学校図書版の数学の教科書。
巻末に,「プログラムを体験してみよう」ということで,スクラッチのコードが載っています。
そこで,さっそく私も体験してみることにしました。
中1の教科書の巻末にある,比例のグラフを描くやつを実行したところ,こんな感じになりました。


 
UFOは教科書にないものですが,その他は教科書通りに組みました。
このコードを活用すれば,もちろん,反比例のグラフも描くことができます。
教科書に載っているコードから,y座標を計算する式の部分を,比例定数をaとして「a÷x」に変更しました。
(あと,座標の都合上,比例定数を3600にしています。)

うまくいくでしょうか・・・


 
ということで,おかしなことになりました。
なぜ,うまくいかないのでしょうか?
それは・・・

反比例の場合,x=0のときはyの値が存在しないからです。
グラフを描くとき,xの値を増加させながら描いていますが,x=0になる前に,いったん描画を止めなければなりません。
スクラッチの場合,「ペンを上げる」という命令ですね。
ということで,x=0をとばして描いてみると・・・
(あと,グラフの線も太くしました。)
 


 
無事に描くことができました。
学習の基本は教科書ですが,そこからいろいろ応用してみると楽しいですね。
つまづいたときにその原因を考えることで,より理解が深まります。
ということで,テスト勉強をするときも,間違えたところの復習に力を入れましょう。

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アキレスと亀

こんにちは。KECの塾・予備校部門,高槻本校の数学・理科担当の川渕です。
夏期集中講座も終了し,9月7日(水)から,いよいよ本科授業を再開します。
いろいろ準備が大変でしたが,なんとか間に合いそうです。

ところで,紀元前のギリシャの哲学者ゼノンが唱えた有名な逆説「アキレスと亀」をご存じでしょうか。
アキレスとは,アキレス腱でおなじみ(?)のギリシャ神話に登場する英雄で,とても足が速かったそうです。
そんな俊足のアキレスが,前方にいる鈍足のカメを追いかけます。
ふつうに考えればアキレスがカメを追い越しそうなものですが,ゼノンはこう言います。

アキレスがはじめに亀のいたところに追いついたときには,亀はわずかに前進している。
ふたたびアキレスが追いかけて亀がいたところに追いついたときには,さらに亀はわずかに前進している。
これを繰り返すかぎり,アキレスは亀に追いつくことはできない。

こう言われると,なんだか,追い越せない気がしてきますが・・・
もちろん,そんなことはありません。
アキレスは亀を追い越すはずなので,ゼノンの逆説,なにかがおかしいです。
どこがおかしいか,わかりますか?

ということで,ゼノンの説明をScratchで再現してみました。
アキレス役を猫,亀役を怪しいUFOが担っています。
2人の間は,はじめ,距離L離れているとします。
アキレス(猫)の速さが亀(UFO)の2倍の時,アキレスが2L進めば亀に追いつくはずなのですが・・・


 
2人の距離は徐々に狭まってくるのですが,アキレス(猫)は追いつけません。
動画では8回でやめましたが,この追いかけっこは「無限」に繰り返されます。
「無限」といわれると永遠に追いつけなさそうな気にさせられるのが,この逆説の難しいところ。
無限に繰り返されますが,アキレス(猫)と亀(UFO)の進んだ距離の和や時間の和は,有限の値に収束します。
この場合,アキレス(猫)が進んだ距離の和は2Lになり,亀(UFO)の進んだ距離の和はLになるので,無事,アキレスは追いつきます。
無限にある数の和が有限になるのは不思議な気がしますが,これは,数IIIで習う無限等比級数で計算ができます。
結局,ゼノンの逆説は,アキレス(猫)が亀(UFO)に追いつくまでの様子を説明しているのでした。

高校2年生の皆さんは,数IIの終盤で微分・積分を習います。
ここで本格的に無限の取り扱いが始まります。
さらに数IIIでも微分・積分を習います。
大学でも理工系や経済系などでは,やっぱり微分・積分を習います。
人体でいえばアキレス腱なみに大事な微分・積分。
しっかり学んでおきたい皆さんは,この機会に,ぜひKEC高槻本校までお問い合わせください。

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動く放物線

こんにちは。KECの塾・予備校部門,高槻本校の数学・理科担当の川渕です。
高槻本校の休校期間は,8月14日(日)~17日(水)の4日間です。
※KEC各校で開校状況は異なるのでご確認ください。
※高槻本校の開校時間は,こちらを参照してください。

お盆明け,高1の数Iを担当する私は,準備に余念がありません。
数Iの2次関数で,なにかと躓く人が多い,動く放物線をScratchで再現してみました。
y=a(x-t)2+q (a>0) で,xの定義域が-1≦x≦1のとき,最大値,最小値がどうなるかってやつです。
放物線の軸x=tの位置により,5つの場合分けになります。


 
今回は,コードを書くのに結構苦労しました。
場合分けって,大変ですね。
ただ,大阪府公立高校入試の数学が図形多めなのに比べ,大学入試の数学はグラフを使う問題が多めです。
ここをしっかり乗り切らないと,今後,苦労することになります。
高1のうちに,しっかりとイメージを掴んでほしいところです。

こんな楽しいKEC高槻本校では,夏期講習の受講を若干名受付中。
お盆明け,第3タームは8月19日(金)に開講します。
私が担当する高1の数学をはじめ,小学生・中学生・高校生の講座はまだまだ残っています。
高槻本校は8月18日(木)から通常通り開校しますので,ご興味がございましたら,ぜひ,お問い合わせください。

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多角形の対角線の本数

こんにちは。KECの塾・予備校部門,高槻本校の数学・理科担当の川渕です。
夏期集中講座が始まって,約20日。
お盆休みになりました。
高槻本校は,8月14日(日)~17日(水)の4日間,休校します。
※KEC各校で開校状況は異なるのでご確認ください。

お休みになったので,夏期の授業を振り返ってみました。
小学5年生の算数の授業では,多角形の対角線の本数を数える話をしました。
はじめは実際に図形を描いて数えるのですが,慣れてきたところで計算方法を紹介します。
そのようすを,久しぶりにScratchで再現してみました。


 
流れはこんな感じですが,塾生が自分で気づくように小出しで説明しなければなりません。
「なぜ1つの頂点から3本?」
「3本×6をすると18本になって数が合わないけどどうしよう?」
と,塾生と盛り上がりながら授業をしました。
最終的には,n多角形の対角線の本数がn(n-3)/2本であることまで導きました。

さて,そんな楽しいKEC高槻本校では,夏期講習の受講を若干名受付中。
お盆明け,第3タームは8月19日(金)に開講します。
小学生はじめ,中学生,高校生の講座もまだまだ残っています。
高槻本校は8月18日(木)から通常通り開校しますので,ご興味がございましたら,ぜひ,お問い合わせください。

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UFOの川流れ

こんにちは。KECの塾・予備校部門,高槻本校の数学・理科担当の川渕です。
高槻市内の公立高校では,一部を除いてテスト期間に入りました。
高1の塾生が勉強していたプリントをみると,物理基礎の速度の合成の問題でした。
速度の合成といえば,対岸に渡ろうとする船が流水に流されたりする問題です。
そこで,久しぶりにScratchでコードを書いて,UFOが川に流されるようす(?)を再現してみました。
A地点から対岸のB地点へ,恒例のUFOが渡ろうとしています。


 
静水時の船の速度と川の流れが垂直な場合は,対岸の到着時間に差がありません。
v’と合成した分,船自体の速度は速くなりますが,速度の流れに垂直な成分(動画でいうとV)の大きさが変わらないからです。
そのため,対岸に到着するのにかかる時間はVで計算できます。
B地点から流されたB‘地点までの距離は,v’で求めます。

こうして動画を作ってみたのですが,なんだか,UFOの動きが人生のように見えてきました。
今はテストで大変ですが,なにかと楽しいことが多い高校生活。
いろいろ流されることはありますが,3年で卒業するのは,みな同じです。
目標地点と離れた位置に到着しないよう,しっかりと針路を取って過ごしましょう!

Scratch 3.22.0

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ひろとさんがつくったプログラム

こんにちは。KECの塾・予備校部門,高槻本校の数学・理科担当の川渕です。
先日,令和4年(2022年)度の全国学力テストが実施されました。
小学算数では,大問4問のうちの4問目が,プログラミングに関する問題でした。
その最後の問題は,プログラムをみてどんな図形ができるか答える問題。
【ひろとさんがつくったプログラム】として,次のような7つの文が載っていました。

1 4cmの直線を引く。
    ↓
2 左に60°回転する。
    ↓
3 3cmの直線を引く。
    ↓
4 左に120°回転する。
    ↓
5 4cmの直線を引く。
    ↓
6 左に60°回転する。
    ↓
7 3cmの直線を引く。
※行番号は筆者による

折角なので,恒例のScratchで【ひろとさんがつくったプログラム】を再現してみました。

※動画がもっさりしているのは,筆者のPCの性能による

無事,正解の平行四辺形を描くことができました。
プログラム自体は単純なのですが,動画の見やすさのためにいろいろ手を加えています。
所々でちょっと待機したり,ゆっくり回転するために繰り返しを入れたりして工夫しました。

KECでは,小学生向けに様々な講座を開講しています。
算数・国語の通常授業に加え,プログラミングを学ぶ「プロクラ」,KECで英検を受験できる「小学英語」,読解力を上げる「速読」など,さまざまなコンテンツがあります。
塾生の皆さんの学力向上のため,さまざまな工夫をしているKECの授業を,ぜひ,体験してみてください。


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池の周りをまわる

こんにちは。KECの塾・予備校部門,高槻本校の数学・理科担当の川渕です。
春期講習が終わり,小中学生にはテストの返却を始めています。
補習が必要な塾生には順番に実施しています。
塾生だけでなく,私も春期講習の問題を振り返ろうと,ある数学の問題について考えてみました。
2人が池の周りをまわる,いわゆる旅人算です。
恒例のScratchでコードを書いて再現してみました。
 

 
2台のUFOが池の周りをまわるのですが,軌跡が赤色のUFOが速く緑色のUFOが遅いです。
同地点から同時に出発して逆方向にまわると,そのうち2台は出会います。
 


 
このとき,「2台が進んだ道のりの和は,池の周りの長さと等しく」なります。
※道のりをわかりやすくするために,池よりやや外側に軌跡を描いています。
 

Scratch 3.21.0


 
同地点から同時に出発して同じ方向にまわる場合は,速い方が遅い方に追いつきます。
 

 
このとき,「2台が進んだ道のりの差が,池の周りの長さと等しく」なります。
※道のりをわかりやすくするために,速い方は徐々に外側に移動しています。
 

Scratch 3.21.0


 
逆方向にまわる場合はイメージしやすいのですが,同じ方向の場合は少しイメージし辛いようす。
チョークで追いかけっこしようとしたこともあるのですが,なかなか難しいです。
そこで,動画でわかりやすくしてみました。

算数,数学の問題は,プログラミングで再現しやすいものが多いです。
現実に比べれば,すごく単純化された状況になっているからです。
速さの問題をするとき,塾生によく
「この人たちはな,分速80mで歩き続けるねん。」
「信号があろうが,イヌに吠えられようが,何があっても分速80mをキープするねん。」
「出会いそうになったり,追いつきそうになったりしても,絶対に速さを変えへんねん。」
と言って問題をイメージ(?)してもらっていました。
今後は,他の方法でも伝えていこうといろいろ工夫をしています。

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2週間無料体験受付中!

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分身

こんにちは。KECの塾・予備校部門,高槻本校の数学・理科担当の川渕です。
いよいよ春期集中講座が近づいてきました。
塾探し,予備校探しをする人が増えるこの季節。
高槻本校にもおかげさまで体験生がたくさん来ていて,忙しい日々を過ごしています。
あまりにも忙しくて「分身出来ないかな・・・」と思った私は,思い余って,反復横跳びをしてみました。
・・・さすがに分身出来なかったので,恒例のスクラッチでコードを書いて謎のUFOに頑張ってもらいました。

始めの1往復は1秒で,2往復目は1/2秒で,3往復目は1/2秒の1/2の1/4秒,4往復目は1/4秒の1/2の1/8秒・・・
と,往復するたびに所要時間を1/2にしながら,それを100回繰り返すコードを書きました。

理論上,100往復目にかかる時間は2の100乗分の1秒で,およそ100の30乗分の1秒,すなわち,1000兆分の1秒のさらに1000兆分の1の時間で往復することになります。
しかし,実際にはそんな短時間で往復できないので,どこかでUFOは速さの限界に達しています。

※もし限界に達していなかったら,1+1/2+1/4+1/8+…は2に収束するので,100往復するのにかかる時間は2秒未満のはずですが,動画をみると100往復に20秒以上かかっています。

こうして限界まで頑張ったUFOですが,分身するのはなかなか難しかったようです。

さて,イベントが目白押しの高槻本校では以下の講座の受講生を募集中です。

新高3無料公開講座[3/22(火)最終]

新中1スタートダッシュ講座[3/24(木)開講]

■春期集中講座(小学生中学生高校生)[3/24(木)開講]

プロクラ体験教室[3/27(日)]

■小学英語1か月体験[4/8(金)以降]

おかげさまで多数の問い合わせをいただいている高槻本校では,分身する代わりにミルク先生と協力しながら対応をしています。
この機会に,KEC高槻本校の各種講座を体験してみたい・・・という方は,ぜひ,KEC高槻本校までお問い合わせください。
講座によっては限界に近づいていますので,ご興味がございましたら,お早めにお問い合わせください。

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Love Formula

こんにちは。KECの塾・予備校部門,高槻本校の数学・理科担当の川渕です。
先日,2月15日のこと。
アシスタントとこんな会話をしました。
「先生,奥様からチョコレートを貰ったんですか?」
「貰ったで」
「やっぱりハート形ですか?」
「いや,ふつうの形やで」

個人的には,あまりハート形が好きではありません。
食い意地が張っている私としては,ハート型のあのへこんだ部分が苦手です。
へこんだ部分があると,なんとなく損をした気分になるのです。
そんなハート形のことが気になったので,3月14日を前にして調べてみました。

調べてみると,ハート形を表す式があるそうです。

という式で,海外では「The Love Formula」と呼ばれているとのこと。
せっかくなので,恒例のスクラッチでコードを書いて描いてみました。
 


 
このハート形,面積について,面白い性質があります。
なんと,単位円と面積が同じです。
つまり,この式でできるハート形の面積は,半径1の円の面積と同じπになります。


 
ただ,ハート形の方が原点から遠い点を通過するので,例えば,四角形の箱に入れるとしたら,ハート形の方が大きい箱が必要になります。
 

Scratch 3.21.0

【面積についての補足】
The Love Formulaの式をyについて解くと,ハート形の向かって右上(心臓でいうと左心房)の部分を表す式はy=x^(2/3)+√(1-x^2)…(1),右下(左心室)の部分はy=x^(2/3)-√(1-x^2)…(2)になります。
ハート形の右半分の面積を求めるためには上の式(1)から下の式(2)を引いてから積分しますが,この場合,(1)と(2)の差が2√(1-x^2)になります。
これは,円の面積を求めるときの式と同じなので,ハート形と円の面積は同じになることがわかります。

Scratch 3.21.0

ということで,ハート形はかさ張るわりには面積が大きくないことがわかりました。
ただ,本当にハート形のチョコレートを貰った時は,文句を言ってはいけません。
感謝の気持ちを忘れないことが,なにかと円満になる秘訣です。

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