コラッツ予想

こんにちは。KECの塾予備校部門,高槻本校の数学・理科担当の川渕です。
ネタを探すため,数学関係のテレビ番組やネット動画をときどき視ています。
先日,NHKで放送されている「笑わない数学」という番組を視たときのこと。
「コラッツ予想」が取り上げられていました。

コラッツ予想とは,正の整数に対して,以下が成り立つという予想です。
偶数なら2で割り奇数なら3倍して1をたす。この計算を繰り返すと,どんな正の整数から出発しても必ずいつかは1にたどり着く
例えば,2であれば
2→1
と1ステップで1になります。
3であれば,
3→10→5→16→8→4→2→1
と7ステップで1になります。

これが,どんな正の整数でも成り立つというものですが,「予想」という名前がついているように,いまだ証明されていません。
番組では,「小学生でも中身は分かるのに,どんな天才にも解決できない超難問!」と紹介されていました。
そう言われると気になるので,スクラッチでコードを書いて実験してみました。

さっそく,2,3,100で試してみます。


 
さらにいろんな数も試してみたのですが,ちゃんと1になりました。
実際に計算してみるのは楽しいですね!
例えば,7は16ステップで1になります。
今日の日付,20231206は,208ステップで1になりました。
※長くなるので動画にはしていません。

こんな感じで,プログラミングにも取り組んでいる(?)高槻本校では,プロクラの受講生を募集中!
12月も体験会を実施します。

■基礎コース【小1,小2,小3生向け】
12月10日(日)14:00~15:30

■初級コース【小4,小5,小6生向け】
12月17日(日)14:00~15:30

私は大学での専攻が情報系だったのですが,プログラミング自体は大学で初めて習いました(ちなみに,習った言語はFortran!)。
小学生のうちから楽しくプログラミングを学べる今の子どもたちが,本当に羨ましいです。
ぜひ,この機会にKEC高槻本校までお問い合わせください。

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■12月10日に,新中1進学説明会も実施します。こちらから

9月の本科授業は9月7日(木)から

こんにちは。KECの塾・予備校部門,高槻本校の数学・理科担当の川渕です。
夏期集中講座は3タームの最終日を迎えました。
塾生の皆さんは,本科が始まるまでの間,学んだことをきちんと復習しておきましょう。

ところで,私が夏期講習で担当した科目の1つが高3物理。

第3タームは「波」の内容だったので,お盆休み中に久しぶりにスクラッチでプログラミングをしてみました。
横波が進む様子を怪しい(?)UFOに再現してもらいました。

17個のUFOそれぞれは上下に単振動しているだけなのですが,つなげると波が進行しているように見えます。
プログラムを実行した様子の動画がこちら。
途中で波にのる妖精が現れます。


 
夏期講習は,高校生の一部の授業がまだ残っていますが,ほぼ終了となります。
9月の本科授業は,9月7日(木)から開講します。
塾・予備校をお探しの小学生・中学生・高校生の皆さんの体験授業も受け付けています。
ぜひ,この機会にKECの熱誠授業で波にのりましょう!

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退屈なとき・・・

こんにちは。KECの塾・予備校部門,数学・理科担当の川渕です。
素数といえば,「2以上の整数で,正の約数が1と自分自身しかない数」。
2,3,5,7,11,13,17,19,…と続いていきますが,どういう規則で素数が現れるのか,はっきりとは判っていないそうです。
そんな素数ですが,あるルールに沿って並べると,傾向が現れたりします。
そのうちの1つが,ウラムの螺旋(らせん)です。
まず,こんな感じで正の整数を並べます。

そして,素数以外を消します。

図では数が少ないのですが,なんとなく対角線上に並びそうではないでしょうか。
ここからは手計算では大変なので,パソコンに頑張ってもらいましょう。
久しぶりにスクラッチを使って,コードを書いて計算してみました。
正の整数を並べながら,それが素数がどうかを関数で判定しています。

このコードを使って,謎のUFOが素数の分布のようすを図示しました。


 
約13万個の正の整数を上記のルールで並べ,素数がある場所に青色をつけました。
※数字そのものは表記していません。
左回りのはずなのですが,動きが速すぎて右回しているような・・・
それはさておき,なんとなく,45度の斜線に並んでいるようすが見てとれるでしょうか。

これにより,いくつかの2次多項式が非常に多くの素数を生成する傾向にあることがわかるそうです。
1963年,数学者のスタニスワフ・ウラムによって発見されたとのこと。
学会中,「長くて非常に退屈な論文」の発表の際に,落書きをしていて発見したというエピソードがあるそうです。
退屈なときでも,手を使って考えれば何か発見があるかもしれませんね。
KEC高槻本校では,授業が休みのGW中にも高3生対象の公開講座を実施します。

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もっとも離れるとき

こんにちは。KECの塾・予備校部門,高槻本校の理科担当の川渕です。
いよいよ,2月10日は大阪府・京都府の私立高校の入試日。
昨年の12月からずっと入試対策をしてきました。

先日の理科では,v-tグラフの問題がありました。
横軸が時間(t),縦軸が速度(v)を表すグラフです。
高校で 物理を習った人にとってはお馴染みのグラフ。
中学生には少し難しかったようでちょっと苦労していました。
ざっくりいうと,こんな感じの問題です。

UFOと妖精が,同じ地点から同じ方向にまっすぐ進みます。
下のグラフのようにt=2aまで進むとき,2人がもっとも離れるのは,いつでしょうか?

グラフに慣れていないと戸惑いますが,もっとも距離が大きいのは,t=aのときです。

妖精は等速で移動していますが,UFOは加速しながら移動しています。
UFOの立場からみると,はじめは妖精の方が速いので,置いて行かれて差が開きます。
ところが,t=aを過ぎると,UFOの方が速くなるので,差が縮まっていきます。
だから,t=aのとき,2人がもっとも離れています。

その後,UFOはt=2aで妖精に追いつきます。
v-tグラフの特徴の1つは,面積で移動距離がわかること。
t=2aのとき,UFOが作る青い三角形と,妖精が作る茶色の長方形の面積が等しいです。
図の場合,どちらの面積も2v1aなので,スタートして2v1a進んだところで,UFOは妖精に追いつくことがわかります。

せっかくなので(?),久しぶりにスクラッチでコードを書いて動かしてみました。


 
はじめはどんどん差が開くのですが,途中からUFOが妖精を追い込み,追い越すようすが見えたでしょうか。

高校受験が始まりましたが,高校受験で終わらないのがKECです。
3月10日の公立高校入試までは受験対策が続きますが,高校入試が終われば,すぐに「高校準備講座」が始まります。
春休みには「新高1フレッシュ講座」も開講!
大学受験への勉強に加速をつけましょう。
ちなみに,高槻本校の高校準備講座の理科では,v-tグラフについても,もう少し深く学ぶ予定です。

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試作問題をスクラッチで再現

こんにちは。KECの塾・予備校部門,高槻本校の検定担当の川渕です。
先日,KECの能力診断テストの成績表が出ました。
三島や槻の木,高槻北,芥川,大阪青凌,金光大阪といった,地元の高槻市内の高校に通う生徒が多い高槻本校。
そんな中,高槻本校の高1の塾生が,数学のランキングで全校ベストテンに入っていました。
文理学科や難関私立高校の生徒もいる中,よく頑張ってくれました。
高1数学を担当している私もうれしい限りです。

さて,現高1生が受ける大学入学共通テストで話題の「情報」。
先日,大学入試センターから試作問題が発表されていました。
さっそく試作問題をみた私は,問題にあったプログラムをスクラッチで再現してみることにしました。
※試作問題はこちら
https://www.dnc.ac.jp/kyotsu/shiken_jouhou/r7ikou/r7houkousei.html
※KECの分析はこちら
https://www.prep.kec.ne.jp/blog/38929

プログラムは2つあって,テーマは買い物です。
1つ目が「ある金額を支払うとき,硬貨が最低何枚か」を調べるというもの。
例えば,46円の場合,10円玉4枚と5円玉1枚,1円玉1枚の計「6枚」を使用します。
この枚数を調べるプログラムを再現してみました。

さすがに高校生ともなると「配列」を使ったりするわけですが,スクラッチの仕様で,若干,試作問題とは異なる部分があります。
例えば,試作問題には,「配列の添え字は0から始まる・・・」と書いてありますが,スクラッチの仕様では,配列(リスト)の添え字は1から始まります。
他にもいろいろあるのを微妙に調整して,上のようなプログラムが完成しました。
無事,謎のUFOが「6」と言っています。

次に,2つ目の「客と店が交換する硬貨の枚数が最小となる数はいくつか」を調べます。
例えば,46円を支払う場合,50円(1枚)払って4円(4枚)のお釣りをもらうと計5枚の硬貨のやり取りがありますが,51円(2枚)を払って5円(1枚)のお釣りをもらえば計3枚の硬貨のやり取りで済みます。
この,最小の枚数「3」を調べたいプログラムです。

1つ目のプログラムを「関数」にして,2つ目のプログラムを作成しています。
試作問題のように作るのは難しかったのですが,なるべく寄せて作成しました。
無事,謎のUFOが「3」と言っています。

こんな感じで,日々,問題の研究(?)に余念がない高槻本校。
授業体験も随時受け付けています。
大学受験をお考えの高校生の皆さんは,ぜひ,体験授業から始めてみてください。
また,進度の加減で体験が難しい場合は,個別で微妙に調整する「オタスケ講座」も無料で実施しています。

【HP申込フォームのあるイベント一覧】
■算数パワーアップ[小6]
https://www.prep.kec.ne.jp/briefinglist/math-powerup.html

■スタートダッシュプレ講座[小6]
https://www.prep.kec.ne.jp/briefinglist/pre-startdash.html

■プログラミング講座「プロクラ」[小学生]
https://www.prep.kec.ne.jp/elementary/programming.html

■大学入試説明会[高2]
https://www.prep.kec.ne.jp/briefinglist/university-entrance-exam-h2.html

■転塾キャンペーン[小学生・中学生・高校生]
https://www.prep.kec.ne.jp/briefinglist/transfer.html

■2週間無料体験キャンペーン[小4・小5・小6・中1・中2]
https://www.prep.kec.ne.jp/briefinglist/experience-2week.html

■志望校判定模試[小4・小5・小6・中1・中2・中3・高1・高2]
https://www.prep.kec.ne.jp/briefinglist/dreamschool-exam.html

■大きく変わる大学入試説明会[高1・高2・高3]
https://www.prep.kec.ne.jp/briefinglist/entrance-exam.html

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教科書に載っているプログラム

こんにちは。KECの塾・予備校部門,高槻本校の検定担当の川渕です。
今日,11月3日(木)は文化の日。
祝日でのんびり・・・
とはいかないのが高槻市内の中学校。
一部の中学がテスト期間なので,祝日もテスト対策実施中です。

さて,テストも近いということで,学校の教科書を見ていた時のこと。
高槻市の公立中学で採用されている学校図書版の数学の教科書。
巻末に,「プログラムを体験してみよう」ということで,スクラッチのコードが載っています。
そこで,さっそく私も体験してみることにしました。
中1の教科書の巻末にある,比例のグラフを描くやつを実行したところ,こんな感じになりました。


 
UFOは教科書にないものですが,その他は教科書通りに組みました。
このコードを活用すれば,もちろん,反比例のグラフも描くことができます。
教科書に載っているコードから,y座標を計算する式の部分を,比例定数をaとして「a÷x」に変更しました。
(あと,座標の都合上,比例定数を3600にしています。)

うまくいくでしょうか・・・


 
ということで,おかしなことになりました。
なぜ,うまくいかないのでしょうか?
それは・・・

反比例の場合,x=0のときはyの値が存在しないからです。
グラフを描くとき,xの値を増加させながら描いていますが,x=0になる前に,いったん描画を止めなければなりません。
スクラッチの場合,「ペンを上げる」という命令ですね。
ということで,x=0をとばして描いてみると・・・
(あと,グラフの線も太くしました。)
 


 
無事に描くことができました。
学習の基本は教科書ですが,そこからいろいろ応用してみると楽しいですね。
つまづいたときにその原因を考えることで,より理解が深まります。
ということで,テスト勉強をするときも,間違えたところの復習に力を入れましょう。

【HP申込フォームのあるイベント一覧】
■プログラミング講座「プロクラ」[小学生]
https://www.prep.kec.ne.jp/elementary/programming.html

■英検ESG祭[小5・小6]
https://www.prep.kec.ne.jp/briefinglist/esg.html

■算数パワーアップ[小6]
https://www.prep.kec.ne.jp/briefinglist/math-powerup.html

■新中1説明会[小6]
https://www.prep.kec.ne.jp/briefinglist/new-juniorhigh-briefing.html

■大学入試説明会[高2]
https://www.prep.kec.ne.jp/briefinglist/university-entrance-exam-h2.html

■転塾キャンペーン[小学生・中学生・高校生]
https://www.prep.kec.ne.jp/briefinglist/transfer.html

■2週間無料体験キャンペーン[小4・小5・小6・中1・中2]
https://www.prep.kec.ne.jp/briefinglist/experience-2week.html

■志望校判定模試[小4・小5・小6・中1・中2・中3・高1・高2]
https://www.prep.kec.ne.jp/briefinglist/dreamschool-exam.html

■大きく変わる大学入試説明会[高1・高2・高3]
https://www.prep.kec.ne.jp/briefinglist/entrance-exam.html

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アキレスと亀

こんにちは。KECの塾・予備校部門,高槻本校の数学・理科担当の川渕です。
夏期集中講座も終了し,9月7日(水)から,いよいよ本科授業を再開します。
いろいろ準備が大変でしたが,なんとか間に合いそうです。

ところで,紀元前のギリシャの哲学者ゼノンが唱えた有名な逆説「アキレスと亀」をご存じでしょうか。
アキレスとは,アキレス腱でおなじみ(?)のギリシャ神話に登場する英雄で,とても足が速かったそうです。
そんな俊足のアキレスが,前方にいる鈍足のカメを追いかけます。
ふつうに考えればアキレスがカメを追い越しそうなものですが,ゼノンはこう言います。

アキレスがはじめに亀のいたところに追いついたときには,亀はわずかに前進している。
ふたたびアキレスが追いかけて亀がいたところに追いついたときには,さらに亀はわずかに前進している。
これを繰り返すかぎり,アキレスは亀に追いつくことはできない。

こう言われると,なんだか,追い越せない気がしてきますが・・・
もちろん,そんなことはありません。
アキレスは亀を追い越すはずなので,ゼノンの逆説,なにかがおかしいです。
どこがおかしいか,わかりますか?

ということで,ゼノンの説明をScratchで再現してみました。
アキレス役を猫,亀役を怪しいUFOが担っています。
2人の間は,はじめ,距離L離れているとします。
アキレス(猫)の速さが亀(UFO)の2倍の時,アキレスが2L進めば亀に追いつくはずなのですが・・・


 
2人の距離は徐々に狭まってくるのですが,アキレス(猫)は追いつけません。
動画では8回でやめましたが,この追いかけっこは「無限」に繰り返されます。
「無限」といわれると永遠に追いつけなさそうな気にさせられるのが,この逆説の難しいところ。
無限に繰り返されますが,アキレス(猫)と亀(UFO)の進んだ距離の和や時間の和は,有限の値に収束します。
この場合,アキレス(猫)が進んだ距離の和は2Lになり,亀(UFO)の進んだ距離の和はLになるので,無事,アキレスは追いつきます。
無限にある数の和が有限になるのは不思議な気がしますが,これは,数IIIで習う無限等比級数で計算ができます。
結局,ゼノンの逆説は,アキレス(猫)が亀(UFO)に追いつくまでの様子を説明しているのでした。

高校2年生の皆さんは,数IIの終盤で微分・積分を習います。
ここで本格的に無限の取り扱いが始まります。
さらに数IIIでも微分・積分を習います。
大学でも理工系や経済系などでは,やっぱり微分・積分を習います。
人体でいえばアキレス腱なみに大事な微分・積分。
しっかり学んでおきたい皆さんは,この機会に,ぜひKEC高槻本校までお問い合わせください。

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動く放物線

こんにちは。KECの塾・予備校部門,高槻本校の数学・理科担当の川渕です。
高槻本校の休校期間は,8月14日(日)~17日(水)の4日間です。
※KEC各校で開校状況は異なるのでご確認ください。
※高槻本校の開校時間は,こちらを参照してください。

お盆明け,高1の数Iを担当する私は,準備に余念がありません。
数Iの2次関数で,なにかと躓く人が多い,動く放物線をScratchで再現してみました。
y=a(x-t)2+q (a>0) で,xの定義域が-1≦x≦1のとき,最大値,最小値がどうなるかってやつです。
放物線の軸x=tの位置により,5つの場合分けになります。


 
今回は,コードを書くのに結構苦労しました。
場合分けって,大変ですね。
ただ,大阪府公立高校入試の数学が図形多めなのに比べ,大学入試の数学はグラフを使う問題が多めです。
ここをしっかり乗り切らないと,今後,苦労することになります。
高1のうちに,しっかりとイメージを掴んでほしいところです。

こんな楽しいKEC高槻本校では,夏期講習の受講を若干名受付中。
お盆明け,第3タームは8月19日(金)に開講します。
私が担当する高1の数学をはじめ,小学生・中学生・高校生の講座はまだまだ残っています。
高槻本校は8月18日(木)から通常通り開校しますので,ご興味がございましたら,ぜひ,お問い合わせください。

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多角形の対角線の本数

こんにちは。KECの塾・予備校部門,高槻本校の数学・理科担当の川渕です。
夏期集中講座が始まって,約20日。
お盆休みになりました。
高槻本校は,8月14日(日)~17日(水)の4日間,休校します。
※KEC各校で開校状況は異なるのでご確認ください。

お休みになったので,夏期の授業を振り返ってみました。
小学5年生の算数の授業では,多角形の対角線の本数を数える話をしました。
はじめは実際に図形を描いて数えるのですが,慣れてきたところで計算方法を紹介します。
そのようすを,久しぶりにScratchで再現してみました。


 
流れはこんな感じですが,塾生が自分で気づくように小出しで説明しなければなりません。
「なぜ1つの頂点から3本?」
「3本×6をすると18本になって数が合わないけどどうしよう?」
と,塾生と盛り上がりながら授業をしました。
最終的には,n多角形の対角線の本数がn(n-3)/2本であることまで導きました。

さて,そんな楽しいKEC高槻本校では,夏期講習の受講を若干名受付中。
お盆明け,第3タームは8月19日(金)に開講します。
小学生はじめ,中学生,高校生の講座もまだまだ残っています。
高槻本校は8月18日(木)から通常通り開校しますので,ご興味がございましたら,ぜひ,お問い合わせください。

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UFOの川流れ

こんにちは。KECの塾・予備校部門,高槻本校の数学・理科担当の川渕です。
高槻市内の公立高校では,一部を除いてテスト期間に入りました。
高1の塾生が勉強していたプリントをみると,物理基礎の速度の合成の問題でした。
速度の合成といえば,対岸に渡ろうとする船が流水に流されたりする問題です。
そこで,久しぶりにScratchでコードを書いて,UFOが川に流されるようす(?)を再現してみました。
A地点から対岸のB地点へ,恒例のUFOが渡ろうとしています。


 
静水時の船の速度と川の流れが垂直な場合は,対岸の到着時間に差がありません。
v’と合成した分,船自体の速度は速くなりますが,速度の流れに垂直な成分(動画でいうとV)の大きさが変わらないからです。
そのため,対岸に到着するのにかかる時間はVで計算できます。
B地点から流されたB‘地点までの距離は,v’で求めます。

こうして動画を作ってみたのですが,なんだか,UFOの動きが人生のように見えてきました。
今はテストで大変ですが,なにかと楽しいことが多い高校生活。
いろいろ流されることはありますが,3年で卒業するのは,みな同じです。
目標地点と離れた位置に到着しないよう,しっかりと針路を取って過ごしましょう!

Scratch 3.22.0

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